3.1 Puntos críticos de funciones

Análisis cualitativo de funciones

Para investigar el comportamiento cualitativo de la gráfica de la función, la derivada siempre es útil. Considerando que el signo de la derivada evaluada en cualquier punto (donde está definida) indica si la función está creciendo o decreciendo en ese punto, si $f'(x_0) > 0$ la función crece en $x_{0}$ , si $f'(x_{0}) < 0$ la función está disminuyendo, y $f'(x_{0}) = 0$ indica que $x_{0}$ es un punto en el que la función no aumenta ni disminuye.

Ejemplo 3.1.3

Demuestre que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función $y = x^3 + 1$ nunca es negativa.

La pendiente de la línea tangente a la gráfica de cualquier función viene dada por el valor numérico de la derivada evaluada en el punto de interés. La derivada de la función dada es:

$\begin{equation*} f'(x) = \frac{dy}{dx} = 3\,x^2 \end{equation*}$

El mínimo valor que $f'(x)$ puede tomar es cero, en $x = 0$ . No puede ser un número negativo porque $x^2 \geq 0$ . Esto significa que la gráfica de la función siempre es creciente, excepto en $x = 0$ , porque en ese punto $f'(0) = 0$ .