3.1 Puntos críticos de funciones

Ejemplo 3.1.2

Calcule todos los puntos críticos de la función. $y = x\cdot e^{x}$ .

Para calcular la derivada de la función dada, es necesario aplicar la regla del producto:

$\begin{equation*} \frac{dy}{dx} = x\cdot e^{x} + e^{x} \end{equation*}$

Igualando la derivada a cero y resuelviendo para $x$ , se obtienen los puntos críticos de la función:

$\begin{equation*} x\cdot e^{x} + e^{x} = e^{x}\cdot (x + 1)= 0 \end{equation*}$

Puesto que $e^{x}$ no puede ser cero (¿por qué?), se deduce que el único punto crítico de esta función es $x = -1$ . Su gráfica se muestra a continuación.

Observe que la recta tangente a la gráfica de la función en $x = -1$ es horizontal porque la derivada es numéricamente igual a la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función, y en $x = -1$ su valor es cero.

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Se define el concepto de punto crítico de una función. Se ejemplifica su cálculo con varios ejemplos concretos y se aplican para el análisis cualitativo de funciones de una variable.

Ejemplo 3.1.2