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3.1 Puntos críticos de funciones

Se define el concepto de punto crítico de una función. Se ejemplifica su cálculo con varios ejemplos concretos y se aplican para el análisis cualitativo de funciones de una variable.



Ejemplo 3.1.2

Calcule todos los puntos críticos de la función. y = x\cdot e^{x}.

Para calcular la derivada de la función dada, es necesario aplicar la regla del producto:

    \begin{equation*} 	\frac{dy}{dx} = x\cdot e^{x} + e^{x} \end{equation*}

Igualando la derivada a cero y resuelviendo para x, se obtienen los puntos críticos de la función:

    \begin{equation*} 	x\cdot e^{x} + e^{x} = e^{x}\cdot (x + 1)= 0 \end{equation*}

Puesto que e^{x} no puede ser cero (¿por qué?), se deduce que el único punto crítico de esta función es x = -1. Su gráfica se muestra a continuación.

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Observe que la recta tangente a la gráfica de la función en x = -1 es horizontal porque la derivada es numéricamente igual a la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función, y en x = -1 su valor es cero.


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