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3.1 Puntos críticos de funciones

Se define el concepto de punto crítico de una función. Se ejemplifica su cálculo con varios ejemplos concretos y se aplican para el análisis cualitativo de funciones de una variable.



Ejemplo 3.1.1

Calcule todos los puntos críticos de la función y = x^2 - 2\,x - 8.

Primero, observe que la función corresponde al polinomio de segundo grado. Por lo tanto, su derivada es un polinomio de primer grado y, consecuentemente, tiene exactamente un punto crítico.

La derivada de la función dada es:

    \begin{equation*} 	\frac{dy}{dx} = 2\,x - 2 \end{equation*}

Para calcular el punto crítico de la función, iguale la derivada a cero y resuelva para x:

    \begin{equation*} 	2\,x - 2 = 0	\qquad\Rightarrow\qquad x = 1 \end{equation*}

Este es el único punto crítico de la función. Esto significa que la gráfica de la función tiene exactamente un punto en el que su línea tangente es horizontal y se encuentra en x = 1. Considerando que la gráfica de una función polinómica de segundo grado es una parábola, x = 1 básicamente indica la ubicación de su vértice, porque

    \begin{equation*} 	y = x^2 - 2\,x - 8 = (x - 1)^2 - 9 \end{equation*}

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