2.9 Derivada de funciones hiperbólicas

Las funciones hiperbólicas se definen como se indica a continuación:

$\begin{eqnarray*} \text{Funci\'on seno hiperb\'olico: }\qquad\sinh x &=& \frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \\ \text{Funci\'on coseno hiperb\'olico: }\qquad\cosh x &=& \frac{e^{x} + e^{-x}}{2} \\ \text{Funci\'on tangente hiperb\'olica: }\qquad\tanh x &=& \frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} = \frac{\sinh x}{\cosh x} \\ \text{Funci\'on cotangente hiperb\'olica: }\qquad\coth x &=& \frac{e^{x} + e^{-x}}{e^{x} - e^{-x}} = \frac{1}{\tanh x} \qquad\qquad\qquad \{x\neq 0\} \\ \text{Funci\'on secante hiperb\'olica: }\qquad\mathrm{sech}\, x &=& \frac{2}{e^{x} + e^{-x}} = \frac{1}{\cosh x} \\ \text{Funci\'on cosecante hiperb\'olica: }\qquad\mathrm{csch}\, x &=& \frac{2}{e^{x} - e^{-x}} = \frac{1}{\sinh x} \qquad\qquad\qquad \{x\neq 0\} \end{eqnarray*}$

2.9.1 Identidades trigonométricas hiperbólicas

Algunas identidades trigonométricas hiperbólicas permiten la simplificación de resultados. Particularmente, los que se muestran a continuación son útiles para simplificar las expresiones que se obtienen en el cálculo de sus derivadas.

Primero, observe que:

$\begin{eqnarray*} \cosh^2 x - \sinh^2x &=& \left(\frac{e^{x} + e^{-x}}{2}\right)^2 - \left(\frac{e^{x} - e^{-x}}{2}\right)^2 \\ &=& \frac{e^{2\,x} + 2 + e^{-2x}}{4} - \frac{e^{2x} - 2 + e^{-2x}}{4} \\ &=& \frac{4}{4} = 1 \end{eqnarray*}$

Por lo tanto, la siguiente identidad se cumple:

$\begin{equation*} \cosh^2x - \sinh^2x = 1 \end{equation*}$

Ahora, divida cada lado de la igualdad sobre $\cosh^2x$ , para obtener:

$\begin{equation*} \frac{\cosh^2x}{\cosh^2x} - \frac{\sinh^2x}{\cosh^2x} = \frac{1}{\cosh^2x} \qquad\Rightarrow\qquad 1 - \tanh^2 x = \mathrm{sech}\,^2 x \end{equation*}$

Del mismo modo, tomando la identidad $\cosh^2x - \sinh^2x = 1$ , y dividiendo cada lado del signo de igual sobre $\sinh^2 x$ , se obtiene:

$\begin{eqnarray*} \frac{\cosh^2x}{\sinh^2x} - \frac{\sinh^2x}{\sinh^2x} = \frac{1}{\sinh^2x} \qquad\Rightarrow\qquad \coth^2 x - 1 = \mathrm{csch}\,^2 x \end{eqnarray*}$

Estas identidades trigonométricas hiperbólicas se utilizarán más adelante para simplificar algunas fórmulas.

Para deducir las fórmulas para calcular las derivadas de estas funciones, es suficiente aplicar las fórmulas para calcular las derivadas de las funciones exponenciales, así como la regla del cociente.