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2.9 Derivada de funciones hiperbólicas

Se justifican las fórmulas para calcular derivadas de funciones hiperbólicas.


2.9.7 Derivada de la función cosecante hiperbólica.

Similar al caso anterior, la regla del cociente se aplica para deducir la fórmula para calcular la derivada:

    \begin{eqnarray*} 	\frac{d(\mathrm{csch}\, x)}{dx} &=& \frac{d\left(\displaystyle\frac{2}{e^{x} - e^{-x}}\right)}{dx}	%\\ 		= \frac{\left(e^{x} - e^{-x}\right)(0) - (2)\left(e^{x} + e^{-x}\right)}{\left(e^{x} - e^{-x}\right)^2}	\\ 		&=& \frac{- \left(2\right)\left(e^{x} + e^{-x}\right)}{\left(e^{x}- e^{-x}\right)^2}	%\\ 		= - \left(\frac{e^{x} + e^{-x}}{e^{x} - e^{-x}}\right) \cdot \left(\frac{2}{e^{x} - e^{-x}}\right)	\qquad\qquad \{x\neq 0\}\\ 		&=& -\coth x \cdot \mathrm{csch}\, x \end{eqnarray*}

En consecuencia, la aplicación de la regla de la cadena conduce a:

    \begin{equation*} 	\frac{d(\mathrm{csch}\, v)}{dx}  = -\coth v \cdot \mathrm{csch}\, v \cdot \frac{dv}{dx} \end{equation*}

Tenga en cuenta que esta fórmula funciona para v \neq 0.

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