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2.9 Derivada de funciones hiperbólicas

Se justifican las fórmulas para calcular derivadas de funciones hiperbólicas.


2.9.6 Derivada de la función secante hiperbólica

En este caso, la regla del cociente se aplica para deducir la fórmula para calcular la derivada de la función secante hiperbólica.

    \begin{eqnarray*} 	\frac{d(\mathrm{sech}\, x)}{dx} &=& \frac{d\left(\displaystyle\frac{2}{e^{x} + e^{-x}}\right)}{dx}	%\\ 		= \frac{\left(e^{x} + e^{-x}\right)(0) - (2)\left(e^{x} - e^{-x}\right)}{\left(e^{x} + e^{-x}\right)^2}	\\ 		&=& \frac{- 2 \cdot \left(e^{x} - e^{-x}\right)}{\left(e^{x} + e^{-x}\right)^2}	%\\ 		= - \left(\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}}\right)\cdot\left(\frac{2}{e^{x} + e^{-x}}\right)		%\\ 		= -\tanh x \cdot \mathrm{sech}\, x \end{eqnarray*}

Para generalizarla, aplique la regla de la cadena considerando v en función de x para obtener:

    \begin{equation*} 	\frac{d(\mathrm{sech}\, v)}{dx}  = -\tanh v \cdot \mathrm{sech}\, v \cdot \frac{dv}{dx} \end{equation*}


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