2.9 Derivada de funciones hiperbólicas

2.9.5 Derivada de la función cotangente hiperbólica

Nuevamente, la regla del cociente debe aplicarse para deducir la fórmula para calcular la derivada de la función cotangente hiperbólica.

$\begin{eqnarray*} \frac{d(\coth x)}{dx} &=& \frac{d\left(\displaystyle\frac{e^{x} + e^{-x}}{e^{x} - e^{-x}}\right)}{dx} %\\ = \frac{\left(e^{x} - e^{-x}\right)\left(e^{x} - e^{-x}\right) - \left(e^{x} + e^{-x}\right)\left(e^{x} + e^{-x}\right)}{\left(e^{x} - e^{-x}\right)^2} \\ &=& \frac{\left(e^{x} - e^{-x}\right)^2 - \left(e^{x} + e^{-x}\right)^2}{\left(e^{x} - e^{-x}\right)^2} %\\ = 1 - \left(\frac{e^{x} + e^{-x}}{e^{x} - e^{-x}}\right)^2 \qquad\qquad \{x\neq 0\}\\ &=& 1 - \coth^2 x \end{eqnarray*}$