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2.9 Derivada de funciones hiperbólicas

Se justifican las fórmulas para calcular derivadas de funciones hiperbólicas.


2.9.5 Derivada de la función cotangente hiperbólica

Nuevamente, la regla del cociente debe aplicarse para deducir la fórmula para calcular la derivada de la función cotangente hiperbólica.

    \begin{eqnarray*} 	\frac{d(\coth x)}{dx} &=& \frac{d\left(\displaystyle\frac{e^{x} + e^{-x}}{e^{x} - e^{-x}}\right)}{dx}	%\\ 		= \frac{\left(e^{x} - e^{-x}\right)\left(e^{x} - e^{-x}\right) - \left(e^{x} + e^{-x}\right)\left(e^{x} + e^{-x}\right)}{\left(e^{x} - e^{-x}\right)^2}	\\ 		&=& \frac{\left(e^{x} - e^{-x}\right)^2 - \left(e^{x} + e^{-x}\right)^2}{\left(e^{x} - e^{-x}\right)^2}	%\\ 		= 1 - \left(\frac{e^{x} + e^{-x}}{e^{x} - e^{-x}}\right)^2		\qquad\qquad \{x\neq 0\}\\ 		&=& 1 - \coth^2 x \end{eqnarray*}

Al aplicar la regla de la cadena, se obtiene:

    \begin{equation*} 	\frac{d(\coth v)}{dx} = \left(1 - \coth^2 v\right)\cdot\frac{dv}{dx} = - \mathrm{csch}\,^2 v \cdot\frac{dv}{dx} \end{equation*}

Recuerde que esta fórmula funciona para toda v \neq 0.


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