2.9 Derivada de funciones hiperbólicas

2.9.4 Derivada de la función tangente hiperbólica

En este caso, la regla del cociente debe aplicarse para deducir la fórmula para calcular la derivada de la función tangente hiperbólica.

$\begin{eqnarray*} \frac{d(\tanh x)}{dx} &=& \frac{d\left(\displaystyle\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}}\right)}{dx} %\\ = \frac{\left(e^{x} + e^{-x}\right)\left(e^{x} + e^{-x}\right) - \left(e^{x} - e^{-x}\right)\left(e^{x} - e^{-x}\right)}{\left(e^{x} + e^{-x}\right)^2} \\ &=& \frac{\left(e^{x} + e^{-x}\right)^2 - \left(e^{x} - e^{-x}\right)^2}{\left(e^{x} + e^{-x}\right)^2} %\\ = 1 - \left(\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}}\right)^2 %\\ = 1 - \tanh^2 x \end{eqnarray*}$