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2.8 Derivada de la función logaritmica

Se justifica la fórmula para calcular la derivada de funciones logarítmicas.

Aplicando la regla de los cuatro pasos a la función y = \log_{a} x, se obtiene:

    \begin{eqnarray*} 	\frac{f(x + dx) - f(x)}{dx} &=& \frac{\log_{a}(x + dx) - \log_{a} (x)}{dx}	\\ 		&=& \frac{1}{dx} \cdot \left(\log_{a}\left(\frac{x + dx}{x}\right)\right)\\ 		&=& \frac{1}{dx} \cdot \left(\log_{a}\left(1 + \frac{dx}{x}\right)\right)\\ 		&=& \frac{1}{x}\cdot \frac{x}{dx} \cdot \left(\log_{a}\left(1 + \frac{1}{\left(\displaystyle\frac{x}{dx}\right)}\right)\right) \\ 		&=& \frac{1}{x} \cdot \left(\log_{a}\left[\left(1 + \frac{1}{\left(\frac{x}{dx}\right)}\right)^{x/dx}\right]\right)  		= \frac{1}{x}\cdot \log_{a} e \end{eqnarray*}

Observe que \nicefrac{x}{dx} es una cantidad infinitamente grande.

2.8.1 Derivada de la función logaritmo natural

Cuando la base del logaritmo es a = e, la función se conoce como la función de logaritmo natural, denotada por y = \ln x. En este caso, \log_{e} e = 1, y por lo tanto,

    \begin{equation*} 	\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}\cdot \log_{e} e = \frac{1}{x} \end{equation*}

Para el caso más general, cuando el argumento de la función de logaritmo natural es v (una función de x), tenemos y = \ln(v). Al aplicar la regla de la cadena, se obtiene inmediatamente:

    \begin{equation*} 	\frac{dy}{dx} = \frac{1}{v}\cdot\frac{dv}{dx} \end{equation*}

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