2.8 Derivada de la función logaritmica

Aplicando la regla de los cuatro pasos a la función $y = \log_{a} x$ , se obtiene:

$\begin{eqnarray*} \frac{f(x + dx) - f(x)}{dx} &=& \frac{\log_{a}(x + dx) - \log_{a} (x)}{dx} \\ &=& \frac{1}{dx} \cdot \left(\log_{a}\left(\frac{x + dx}{x}\right)\right)\\ &=& \frac{1}{dx} \cdot \left(\log_{a}\left(1 + \frac{dx}{x}\right)\right)\\ &=& \frac{1}{x}\cdot \frac{x}{dx} \cdot \left(\log_{a}\left(1 + \frac{1}{\left(\displaystyle\frac{x}{dx}\right)}\right)\right) \\ &=& \frac{1}{x} \cdot \left(\log_{a}\left[\left(1 + \frac{1}{\left(\frac{x}{dx}\right)}\right)^{x/dx}\right]\right) = \frac{1}{x}\cdot \log_{a} e \end{eqnarray*}$

Observe que $\nicefrac{x}{dx}$ es una cantidad infinitamente grande.

2.8.1 Derivada de la función logaritmo natural

Cuando la base del logaritmo es $a = e$ , la función se conoce como la función de logaritmo natural, denotada por $y = \ln x$ . En este caso, $\log_{e} e = 1$ , y por lo tanto,

$\begin{equation*} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}\cdot \log_{e} e = \frac{1}{x} \end{equation*}$

Para el caso más general, cuando el argumento de la función de logaritmo natural es $v$ (una función de $x$ ), tenemos $y = \ln(v)$ . Al aplicar la regla de la cadena, se obtiene inmediatamente: