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2.7 Derivada de la función exponencial

Se justifica la fórmula para calcular la derivada de funciones exponenciales.

2.7.1 El número e

La siguiente explicación para definir el número e se debe a Leonhard Euler (para más detalles, vea Una relectura del Introductio in analysin infinitorum de Euler, por Quintero, 1999.)

Considere la cantidad a^{dx} con a > 0 y a \neq 1. Esta cantidad difiere de 1 por un infinitesimal, porque según el postulado de Leibniz,

    \begin{equation*} 	a^{dx} = a^{0 + dx}  	= a^{0} + [a^{x}]'(0)\cdot dx 	= 1 + k\cdot dx \end{equation*}

para algún k > 0 (puesto que la gráfica de a^x es creciente para toda x). Aquí, [a^{x}]'(0), representa la derivada de la función y = a^{x} evaluada en x = 0. Si x es finito, de manera que x = N\cdot dx, entonces necesariamente N es una cantidad infinitamente grande.

    \begin{eqnarray*} 	a^{x} &=& a^{N\,dx} \\ 	&=& \left(a^{dx}\right)^{N}\\ 	&=& \left(1 + k\,dx\right)^{N} \end{eqnarray*}

Considerando que dx = \nicefrac{x}{N}, por la fórmula del binomio de Newton se tiene que:

    \begin{eqnarray*} 	\left(1 + k\,dx\right)^{N} &=& 1 + N\,(k\,dx) + \frac{N\,(N-1)}{2!}\,(k\,dx)^{2} + \frac{N\,(N-1)(N-2)}{3!}\,(k\,dx)^{3} + \cdots\\ 	&=& 1 + k\,x + \frac{N-1}{N}\,\frac{k^2}{2!}\,x^2 + \frac{N-1}{N}\,\frac{N-2}{N}\,\frac{k^3}{3!}\,x^3 + \cdots \end{eqnarray*}

Como N es una cantidad infinitamente grande, \nicefrac{(N-1)}{N} = 1, \nicefrac{(N-2)}{N} = 1, \nicefrac{(N-3)}{N} = 1, y así sucesivamente. Por lo tanto,

    \begin{equation*} 	a^{x} = \left(1 + k\,dx\right)^{N} = 1 + k\,x + \frac{k^2}{2!}\,x^2 + \frac{k^3}{3!}\,x^3 + \cdots \end{equation*}

haciendo k = 1 y recordando que dx = \nicefrac{x}{N} se tiene:

    \begin{equation*} 	\left(1 + dx\right)^{N} = \left(1 + \frac{x}{N}\right)^{N} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \end{equation*}

Para x = 1 la suma da como resultado el número real constante e:

    \begin{equation*} 	e = \left(1 + \frac{1}{N}\right)^{N} = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots \approx 2.7182818284590452354 \end{equation*}

Y para cualquier valor real x (con k = 1) se tiene:

    \begin{equation*} 	e^{x} %= \left[\left(1 + \frac{1}{N}\right)^{N} \right]^{x} 	 = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^{n}}{n!} + \cdots \end{equation*}

Con esto como preámbulo, la función exponencial se define de la siguiente manera:

    \begin{equation*} 	y = e^{x} \end{equation*}

donde e \approx 2.7182818284590452354, como se acaba de definir. Observe que, dado que la función exponencial se puede escribir como un polinomio de grado infinito, crece más rápido que cualquier polinomio de grado finito.


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