2.7 Derivada de la función exponencial

2.7.2 Derivada de la función exponencial base a

Para aplicar la regla de los cuatro pasos a la función $y = a^{x}$ , cuando se da un incremento infinitesimalmente pequeño a $x$ , se observa un cambio infinitesimal asociado en la función:

$\begin{equation*} \frac{dy}{dx} = \frac{f(x + dx) - f(x)}{dx} = \frac{a^{x + dx} - a^{x}}{dx} = a^{x}\cdot \frac{a^{dx} - 1}{dx} \end{equation*}$

Sea $k = a^{dx} - 1$ . A partir de esto, $dx = \log_{a} (1 + k)$ . Por lo tanto,

$\begin{equation*} \frac{dy}{dx} = a^{x}\cdot \frac{k}{\log_{a} (1 + k)} = a^{x}\cdot \frac{1}{\displaystyle\left(\frac{1}{k}\right)\log_{a} (1 + k)} = a^{x}\cdot \frac{1}{\log_{a} \left[(1 + k)^{1/k}\right]} \end{equation*}$

Por el postulado de Leibniz, $a^{dx} = a^{0 + dx} = a^{0} + m\cdot dx = 1 + m\cdot dx$ , donde $m = [a^{x}]'(0)$ es un número constante. De nuevo, $[a^{x}]'(0)$ representa la derivada de $y = a^{x}$ evaluada en $x = 0$ . Entonces $k$ es un infinitesimal, pues $a^{dx} - 1 = 1 + m\cdot dx - 1 = m\cdot dx$ . Por lo que, $N = \nicefrac{1}{k}$ es una cantidad infinitamente grande. De esto se sigue que $(1 + k)^{1/k} = (1 + \nicefrac{1}{N})^{N} = e$ . Así que,