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2.7 Derivada de la función exponencial

Se justifica la fórmula para calcular la derivada de funciones exponenciales.


2.7.2 Derivada de la función exponencial base a

Para aplicar la regla de los cuatro pasos a la función y = a^{x}, cuando se da un incremento infinitesimalmente pequeño a x, se observa un cambio infinitesimal asociado en la función:

    \begin{equation*} 	\frac{dy}{dx} = \frac{f(x + dx) - f(x)}{dx} 	= \frac{a^{x + dx} - a^{x}}{dx} 	= a^{x}\cdot \frac{a^{dx} - 1}{dx} \end{equation*}

Sea k = a^{dx} - 1. A partir de esto, dx = \log_{a} (1 + k). Por lo tanto,

    \begin{equation*} 	\frac{dy}{dx} = a^{x}\cdot \frac{k}{\log_{a} (1 + k)} 	= a^{x}\cdot \frac{1}{\displaystyle\left(\frac{1}{k}\right)\log_{a} (1 + k)} 	= a^{x}\cdot \frac{1}{\log_{a} \left[(1 + k)^{1/k}\right]} \end{equation*}

Por el postulado de Leibniz, a^{dx} = a^{0 + dx} = a^{0} + m\cdot dx = 1 + m\cdot dx, donde m = [a^{x}]'(0) es un número constante. De nuevo, [a^{x}]'(0) representa la derivada de y = a^{x} evaluada en x = 0. Entonces k es un infinitesimal, pues a^{dx} - 1 = 1 + m\cdot dx - 1 = m\cdot dx. Por lo que, N = \nicefrac{1}{k} es una cantidad infinitamente grande. De esto se sigue que (1 + k)^{1/k} = (1 + \nicefrac{1}{N})^{N} = e. Así que,

    \begin{equation*} 	\frac{dy}{dx} = a^{x}\cdot \frac{1}{\log_{a}(e)} = a^{x}\cdot \log_{e}(a) = a^{x}\cdot \ln a. \end{equation*}

Para el caso general, y = a^{v}, se puede aplicar la regla de la cadena. El resultado es entonces,

    \begin{equation*} 	\frac{dy}{dx} = a^{v}\cdot \ln a\cdot \frac{dv}{dx} \end{equation*}


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