2.7 Derivada de la función exponencial

2.7.1 El número e

La siguiente explicación para definir el número $e$ se debe a Leonhard Euler (para más detalles, vea Una relectura del Introductio in analysin infinitorum de Euler, por Quintero, 1999.)

Considere la cantidad $a^{dx}$ con $a > 0$ y $a \neq 1$ . Esta cantidad difiere de 1 por un infinitesimal, porque según el postulado de Leibniz,

$\begin{equation*} a^{dx} = a^{0 + dx} = a^{0} + [a^{x}]'(0)\cdot dx = 1 + k\cdot dx \end{equation*}$

para algún $k > 0$ (puesto que la gráfica de $a^x$ es creciente para toda $x$ ). Aquí, $[a^{x}]'(0)$ , representa la derivada de la función $y = a^{x}$ evaluada en $x = 0$ . Si $x$ es finito, de manera que $x = N\cdot dx$ , entonces necesariamente $N$ es una cantidad infinitamente grande.

$\begin{eqnarray*} a^{x} &=& a^{N\,dx} \\ &=& \left(a^{dx}\right)^{N}\\ &=& \left(1 + k\,dx\right)^{N} \end{eqnarray*}$

Considerando que $dx = \nicefrac{x}{N}$ , por la fórmula del binomio de Newton se tiene que:

$\begin{eqnarray*} \left(1 + k\,dx\right)^{N} &=& 1 + N\,(k\,dx) + \frac{N\,(N-1)}{2!}\,(k\,dx)^{2} + \frac{N\,(N-1)(N-2)}{3!}\,(k\,dx)^{3} + \cdots\\ &=& 1 + k\,x + \frac{N-1}{N}\,\frac{k^2}{2!}\,x^2 + \frac{N-1}{N}\,\frac{N-2}{N}\,\frac{k^3}{3!}\,x^3 + \cdots \end{eqnarray*}$

Como $N$ es una cantidad infinitamente grande, $\nicefrac{(N-1)}{N} = 1$ , $\nicefrac{(N-2)}{N} = 1$ , $\nicefrac{(N-3)}{N} = 1$ , y así sucesivamente. Por lo tanto,

$\begin{equation*} a^{x} = \left(1 + k\,dx\right)^{N} = 1 + k\,x + \frac{k^2}{2!}\,x^2 + \frac{k^3}{3!}\,x^3 + \cdots \end{equation*}$

haciendo $k = 1$ y recordando que $dx = \nicefrac{x}{N}$ se tiene:

$\begin{equation*} \left(1 + dx\right)^{N} = \left(1 + \frac{x}{N}\right)^{N} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \end{equation*}$

Para $x = 1$ la suma da como resultado el número real constante $e$ :

$\begin{equation*} e = \left(1 + \frac{1}{N}\right)^{N} = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots \approx 2.7182818284590452354 \end{equation*}$

Y para cualquier valor real $x$ (con $k = 1$ ) se tiene:

$\begin{equation*} e^{x} %= \left[\left(1 + \frac{1}{N}\right)^{N} \right]^{x} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^{n}}{n!} + \cdots \end{equation*}$

Con esto como preámbulo, la función exponencial se define de la siguiente manera:

$\begin{equation*} y = e^{x} \end{equation*}$

donde $e \approx 2.7182818284590452354$ , como se acaba de definir. Observe que, dado que la función exponencial se puede escribir como un polinomio de grado infinito, crece más rápido que cualquier polinomio de grado finito.

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2.7 Derivada de la función exponencial

Se justifica la fórmula para calcular la derivada de funciones exponenciales.

2.7.1 El número e