2.6 Derivada de funciones algebraicas

Contenido

1 2.6.7 Ejemplos
2 Ejemplo 2.6.1
3 Ejemplo 2.6.2
4 Ejemplo 2.6.3
5 Ejemplo 2.6.4

2.6.7 Ejemplos

En esta sección damos algunos ejemplos concretos para justificar fórmulas de la regla de los cuatro pasos, aunque ya no es necesario para este tipo de funciones.

Ejemplo 2.6.1

Calcule la derivada de la función: $y = m\,x + b$ aplicando la regla de los cuatro pasos.

La derivada de la función lineal $y = m \, x + b$ puede justificarse directamente aplicando las fórmulas deducidas previamente.
En cualquier caso, apliquemos la regla de los cuatro pasos.

$\begin{eqnarray*} y &=& m\,x + b \\ y + dy &=& m\,(x + dx) + b \\ dy &=& m\,(x + dx) + b - m\,x - b \\ &=& \cancel{m\,x} + m\,dx + \cancel{b} - \cancel{m\,x} - \cancel{b} \\ \frac{dy}{dx} &=& \frac{m\cdot dx}{dx} \\ \frac{dy}{dx} &=& m \end{eqnarray*}$

En palabras, la derivada de la función lineal es igual a su pendiente.

Ejemplo 2.6.2

Calcule la derivada de la función $y = \nicefrac{1}{x}$ aplicando la regla de los cuatro pasos.

Primero, demos un incremento a la variable independiente $x$ :

$\begin{eqnarray*} y &=& \frac{1}{x} \\ y + dy &=& \frac{1}{x + dx} \\ dy &=& \frac{1}{x + dx} - \frac{1}{x} \\ \frac{dy}{dx} &=& \frac{1}{dx}\cdot\left( \frac{1}{x + dx} - \frac{1}{x} \right) \\ \frac{dy}{dx} &=& \frac{1}{dx}\cdot\left( \frac{\cancel{x} - \cancel{x} - dx}{x\cdot(x + dx)} \right) = \frac{- dx}{x\cdot(x + dx)\cdot dx} %\\ = \frac{- 1}{x\cdot(x + dx)} \\ \frac{dy}{dx} &=& \frac{-1}{x^2 + x\cdot dx} = \quad -\frac{1}{x^2} \end{eqnarray*}$

La derivada de la función $y = \nicefrac{1}{x}$ puede calcularse fácilmente aplicando la regla de la potencia. Con este fin, se escribe $y = x^{-1}$ , de manera que $n = -1$ , y la aplicación de la fórmula da:

$\begin{equation*} \frac{dy}{dx} = - x^{-2} = - \frac{1}{x^{2}} \end{equation*}$

Ejemplo 2.6.3

Calcule la derivada de la función $y = \nicefrac{(x - 1)}{(x + 1)}$ aplicando la regla de los cuatro pasos.

Primero, de un incremento a la variable independiente $x$ :

$\begin{eqnarray*} y &=& \frac{x - 1}{x + 1} \\ y + dy &=& \frac{x + dx - 1}{x + dx + 1} \\ dy &=& \frac{x + dx - 1}{x + dx + 1} - \frac{x - 1}{x + 1} \\ &=& \frac{2\cdot dx}{(x + dx + 1)(x + 1)} \\ \frac{dy}{dx} &=& \frac{1}{dx}\cdot\left( \frac{2\cdot dx}{(x + dx + 1)(x + 1)} \right) \\ &=& \frac{2}{(x + dx + 1)\cdot (x + 1)} \\ \frac{dy}{dx} &=& \frac{2}{(x + 1)^2} \end{eqnarray*}$

Esta derivada también se puede calcular: (a) aplicando la regla del cociente, y (b) aplicando la regla del producto, escribiendo:
$y = (x - 1)(x + 1)^{-1}$ .

Ejemplo 2.6.4

Calcule la derivada de la función: $y = \sqrt{x}$ aplicando la regla de los cuatro pasos.

Aplicando directamente la regla de los cuatro pasos se obtiene:

$\begin{eqnarray*} y &=& \sqrt{x} \\ y + dy &=& \sqrt{x + dx} \\ dy &=& \sqrt{x + dx} - \sqrt{x} \\ \frac{dy}{dx} &=& \frac{\sqrt{x + dx} - \sqrt{x}}{dx} \\ \frac{dy}{dx} &=& \left(\frac{\sqrt{x + dx} - \sqrt{x}}{dx}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{x + dx} + \sqrt{x}}{\sqrt{x + dx} + \sqrt{x}}\right) \\ \frac{dy}{dx} &=& \frac{x + dx - x}{dx\cdot\left(\sqrt{x + dx} + \sqrt{x}\right)} = \frac{1}{\sqrt{x + dx} + \sqrt{x}} = \frac{1}{2\,\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$

porque $\sqrt{x + dx} = \sqrt{x}$ , por la propiedad algebraica 1 de los infinitesimales.

Para cada función $y = f (x)$ , se puede generar otra función agregando una constante a la anterior: $y = g (x) = f (x) + C$ . Ambas funciones $y = f (x)$ y $y = g (x)$ tienen la misma derivada, porque la derivada de una constante es cero. Es decir: «si dos funciones difieren en una constante, tienen la misma derivada». También es cierto que «si dos funciones tienen la misma derivada, difieren en una constante.»