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2.6 Derivada de funciones algebraicas

Se aplica la regla de los cuatro pasos para justificar fórmulas de derivación de funciones algebraicas y se ejemplifica el uso de la regla de los cuatro pasos en casos concretos.


2.6.6 Derivada del cociente de dos funciones: y = \nicefrac{u}{v}

Como en el caso anterior, considere que ambas, u y v, son funciones de x. Cuando se da un incremento infinitamente pequeño a x, provoca un cambio en u y en v. Por lo tanto,

    \begin{eqnarray*} 	y &=& \frac{u}{v}								\\  	y + dy &=& \frac{u + du}{v + dv} 				\\ 	dy &=& \frac{u + du}{v + dv} - \frac{u}{v} 		\\ 		&=& \frac{u\cdot v + v\cdot du - u\cdot v - u\cdot dv}{v^2 + v\cdot dv}   		= \frac{v\cdot du - u\cdot dv}{dx\cdot\left( v^2 + v\cdot dv \right)}		\\ 	\frac{dy}{dx} &=& \frac{\displaystyle v\cdot \frac{du}{dx} - u\cdot \frac{dv}{dx}}{v^2}	 \end{eqnarray*}

Esta es «la regla del cociente». En palabras, la derivada de un cociente es igual al denominador multiplicado por la derivada del numerador, menos el numerador multiplicado por la derivada del denominador, todo dividido sobre el cuadrado del denominador.

Observe que, v^2 + v\cdot dv = v^2 porque el término v\cdot dv es infinitamente pequeño comparado con v^2.


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