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2.6 Derivada de funciones algebraicas

Se aplica la regla de los cuatro pasos para justificar fórmulas de derivación de funciones algebraicas y se ejemplifica el uso de la regla de los cuatro pasos en casos concretos.


2.6.5 Derivada del producto de dos funciones: y = u\cdot v

En este caso, se supone que ambas funciones, u y v, dependen de x. Debido a esto, cuando se da un incremento a x, se produce un cambio tanto en u como en v.

    \begin{eqnarray*} 	y &=& u\cdot v										\\  	y + dy &=& (u + du)\cdot (v + dv) 					\\ 	dy &=& (u + du) \cdot (v + dv) - u\cdot v			\\ 		&=& \cancel{u\cdot v} + u\cdot dv + v\cdot du + du\cdot dv - \cancel{u\cdot v} 	\\ 	\frac{dy}{dx} &=& \frac{u\cdot dv + v\cdot du + du\cdot dv}{dx}	\\ 	\frac{dy}{dx} &=& u\cdot \frac{dv}{dx} + v\cdot \frac{du}{dx}		 \end{eqnarray*}

Esta es «la regla del producto». En palabras, la derivada del producto de dos funciones es igual a la suma de los productos de una función multiplicada por la derivada de la otra, para ambas funciones en la expresión.

Observe que, dado que u = f(x), y v = g(x), entonces, du = f'(x)\cdot dx, y dv = g'(x) \cdot dx. Por lo tanto, u\cdot dv + v \cdot du = f(x)\cdot g'(x)\cdot dx + g(x) \cdot f'(x) \cdot dx es un infinitesimal de primer orden. Por otra parte, du\cdot dv = f'(x) \cdot g'(x) \cdot (dx)^2 es un infinitesimal de segundo orden. Esa es la razón por la cual el término du\cdot dv es infinitamente pequeño comparado con u\cdot dv + v \cdot du.


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