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2.6 Derivada de funciones algebraicas

Se aplica la regla de los cuatro pasos para justificar fórmulas de derivación de funciones algebraicas y se ejemplifica el uso de la regla de los cuatro pasos en casos concretos.


2.6.4 Derivada de la función y = x^{n}

Considerando la fórmula para el teorema del binomio de Newton:

    \begin{equation*} 	(a + b)^{n} = \sum\limits_{i = 0}^{n}\binom{n}{i} \,a^{i}\,b^{n-i} \end{equation*}

Esta es la fórmula que debe aplicarse después de dar un incremento infinitesimal a x para luego simplificar la expresión obtenida.

    \begin{eqnarray*} 	y &=& x^{n}									\\  	y + dy &=& (x + dx)^{n}						\\ 	dy &=& (x + dx)^{n}	- x^{n}					\\ 	\frac{dy}{dx} &=& \frac{(x + dx)^{n}	- x^{n}}{dx}	\\ 	\frac{dy}{dx} &=& \frac{\cancel{x^{n}} + n\cdot x^{n-1}\cdot dx + (\frac{1}{2})(n)(n-1)x^{n-2}(dx)^2 + \cdots	+ n \cdot x\,(dx)^{n-1} + (dx)^{n} - \cancel{x^{n}}}{dx}	\\ 	\frac{dy}{dx} &=& n\cdot x^{n-1} + \frac{1}{2}\cdot n \,(n - 1)\cdot x^{n-2}\cdot dx + \cdots + n \cdot x\,(dx)^{n-2} + (dx)^{n-1}	\\  \frac{dy}{dx} &=& n\cdot x^{n-1}					 \end{eqnarray*}

En palabras, la derivada de la función de la enésima potencia (y = x^n) es igual al exponente n multiplicado por la función potencia n-1. Esta es «la regla de la potencia».


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