2.5 La regla de la cadena

Hay ocasiones en que se deben derivar funciones compuestas. En este caso, cuando le damos un incremento infinitamente pequeño a $x$ , obtenemos:

$\begin{eqnarray*} g(x + dx) &=& g(x) + g'(x)\cdot dx = g(x) + dg \qquad \text{ y tambi\'en,}\\ f(g(x + dx)) &=& f\left(g(x) + dg\right) = f(g(x)) + f'(g(x))\cdot dg \end{eqnarray*}$

Aplicando la regla de los cuatro pasos para calcular la derivada de esta función compuesta $y = f(g (x))$ , se obtiene:

$\begin{eqnarray*} \frac{df}{dx} &=& \frac{f\left(g(x) + dg\right) - f(g(x))}{dx} \\ &=& \frac{\cancel{f(g(x))} + f'(g(x))\cdot dg - \cancel{f(g(x)}}{dx}\\ &=& \frac{f'(g(x))\cdot dg}{dx} \\ &=& f'(g(x))\cdot \frac{dg}{dx} = \frac{df}{dg}\cdot \frac{dg}{dx} \end{eqnarray*}$

Esta es la regla de la cadena. Su aplicación al justificar las fórmulas para calcular derivadas de funciones permite la generalización de los resultados como se muestra en las siguientes unidades de aprendizaje.

Se puede obtener fácilmente una versión simplificada del procedimiento anterior observando que $dy = f(g + dg) - f(g)$ , y al dividir esto entre $x$ se obtiene:

$\begin{equation*} \frac{dy}{dx} = \frac{f(g + dg) - f(g)}{dx} = \frac{f(g + dg) - f(g)}{dx}\cdot \frac{dg}{dg} = \frac{f(g + dg) - f(g)}{dg}\cdot \frac{dg}{dx} = \frac{df}{dg}\cdot \frac{dg}{dx} \end{equation*}$

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Se deduce la regla de la cadena.