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2.4 El método de Euler

Se postula el Método de Euler como una estrategia para estimar el cambio del valor una función.

Cuando se conoce la razón de cambio f'(x) de y = f (x), pero se desconoce la función, se puede calcular fácilmente una aproximación del valor futuro de y suponiendo constante la razón de cambio en un pequeño intervalo \Delta x y aplicando el postulado de Leibniz modificado:

    \begin{equation*} 	f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x)\cdot \Delta x \end{equation*}

Esta fórmula corresponde a lo que se conoce como el Método de Euler.

Si f'(x) no es constante, para cualquier \Delta x finito, entonces f'(x) \cdot \Delta x \neq f(x + \Delta x) - f(x). Observe que si \Delta x es suficientemente pequeño, entonces la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos (x, f(x)) y (x + \Delta, f(x + \Delta x)), es aproximadamente igual a la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en (x, f(x)). Si y = f (x) no cambia drásticamente la dirección cerca del punto x (esto es, si la función es suave alrededor de x), un valor menor de \Delta x hace que esta suposición sea más contundente.

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Si la función es suave, la aproximación \Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \approx f'(x) \cdot \Delta x, mejora a medida que \Delta x se hace más pequeño. Esto se debe a que el valor considerado para la pendiente f'(x) se acerca al valor promedio de la pendiente de la recta tangente al gráfico de la función en el intervalo [x, x + \Delta x]. Por supuesto, si el incremento es infinitamente pequeño dx, el resultado es exacto, ya que corresponde con el postulado de Leibniz:

    \begin{equation*} 	f(x + dx) = f(x) + f'(x) \cdot dx 	\qquad\Rightarrow\qquad 	dy = f(x + dx)  - f(x) = f'(x) \cdot dx \end{equation*}

En este caso, el cambio en y es infinitamente pequeño dy. Está claro que el postulado de Leibniz se define para los números hiperreales, mientras que la idea correspondiente para los números reales es el método de Euler. No hace falta decir que si f'(x) es constante para cualquier x, entonces la función es lineal y, en este caso particular, f(x + \Delta x) = f(x) + f'(x) \cdot \Delta x. Obviamente, en este caso no es necesario aplicar el método de Euler porque su aplicación da como resultado la ecuación de la línea.

Considere un valor fijo para x. En este caso, f'(x) es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de y = f(x) en el punto x. Por otro lado, la pendiente m de la recta secante que pasa por los puntos (x, f(x)) y (x + \Delta x, f(x + \Delta x)) es:

    \begin{equation*} 	m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \end{equation*}

Si la gráfica de la función no cambia su pendiente repentinamente cerca de x, para un \Delta x suficientemente pequeño y un x fijo, los valores correspondientes para m y f'(x) son aproximadamente iguales. Por eso la aproximación

    \begin{equation*} 	f'(x) \approx \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \frac{\Delta y}{\Delta x} \end{equation*}

tiene sentido. Al resolver esta expresión para f (x + \Delta x), se obtiene la fórmula del método de Euler.

    \begin{equation*} 	f'(x) \approx \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \frac{\Delta y}{\Delta x} 	\qquad\Rightarrow\qquad  	f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x)\cdot \Delta x \end{equation*}

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