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2.3 El postulado de Leibniz

Se enuncia el postulado de Leibniz.

A partir de la definición de derivada,

$\begin{equation*} \frac{dy}{dx} = \frac{f(x + dx) - f(x)}{dx} = f'(x) \end{equation*}$

Multiplique ambos lados de la igualdad por $dx$ , para obtener:

$\begin{equation*} dy = f(x + dx) - f(x) = f'(x) \cdot dx \end{equation*}$

Resolviendo para $f(x + dx)$ , se obtiene:

$\begin{equation*} f(x + dx) = f(x) + f'(x) \cdot dx \end{equation*}$

Geométricamente, esto implica que si es posible calcular la derivada de la función en un punto dado, entonces su gráfica (infinitesimalmente en ese punto) se comporta exactamente como una línea recta. Esto se debe al signo igual en la expresión: $f(x + dx) = f(x) + f'(x)\cdot dx$ .

La suposición aquí es que la razón de cambio ( $f'(x)$ ) es constante desde $x$ hasta $x + dx$ (porque la parte real en $x$ y en $x + dx$ es la misma, a saber, $x$ .). Esta hipótesis se debe a Leibniz y en este libro se define como «el postulado de Leibniz».

El postulado de Leibniz

Sea $y = f(x)$ una función tal que $f'(x)$ exista para todo $x$ en el intervalo $[a, b]$ . Entonces, para todo $x\in[a,b]$ , la función satisface:
$\begin{equation*} f(x + dx) = f(x) + f'(x) \cdot dx \end{equation*}$

El postulado de Leibniz se usará para calcular la cualidad (atributo) de un todo para el que no existe alguna fórmula, pero es posible dividir el todo para que en cada parte se pueda calcular dicha cualidad y al sumar el valor de cada una de las partes, se obtenga el valor de ese atributo para el todo.

Diferencial

El diferencial es una cantidad infinitesimal obtenida como producto de una cantidad finita por un infinitesimal.

Por ejemplo, $dy = f'(x) \cdot dx$ es un diferencial si $f'(x)$ es una cantidad finita, y se llama «diferencial de $y$ ». Por supuesto, $dx = 1 \cdot dx$ , por lo que, por definición, $dx$ también es un diferencial. Observe que la derivada $f'(x)$ de la función $y = f (x)$ puede definirse como el cociente de los diferenciales $dy$ y $dx$ , donde $dy = f(x + dx) - f(x)$ :

$\begin{equation*} f'(x) = \frac{dy}{dx} = \frac{f(x + dx) - f(x)}{dx} \end{equation*}$

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