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2.3 El postulado de Leibniz

Se enuncia el postulado de Leibniz.



Ejemplo 2.3.1

Dados los puntos A(0,0) y B(dx,dx^2) sobre la gráfica de la función y = x^2, verifique que B está sobre el eje x.

Sea dr la distancia desde A hasta B:

    \begin{equation*} 	dr^2 = dx^2 + \left(dx^2\right)^2 = dx^2 + dx^4 = dx^2 \end{equation*}

Por lo tanto, dr = dx. Esto implica que la distancia desde el origen A(0,0) hasta el punto B(dx, dx^2) es exactamente igual a la distancia desde el origen al punto (dx, 0). Geométricamente, esto significa que el punto B está sobre el eje x.

Esto era de esperarse, ya que la tangente a la gráfica de la parábola y = x^2 en el origen es horizontal y según el postulado de Leibniz, si su punto inicial está en el origen, su punto final debe estar en el eje x porque una porción infinitamente pequeña de la gráfica es recta (y en este caso, horizontal).

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Observe que si se calcula la pendiente m de la línea que pasa por los puntos A y B, se obtiene cero como resultado:

    \begin{equation*} 	m = f'(0) = \frac{dy}{dx} = \frac{dx^2 - 0}{dx - 0} = \frac{dx^2}{dx} = dx \end{equation*}

Como m representa un número finito y dx es infinitamente pequeño, se deduce que m como número real es cero. Algebraicamente, m = dx implica m - dx = 0. O bien, m = 0.


Si la función es diferenciable en el intervalo [a, b], se puede pensar que su gráfica consiste en una línea poligonal, con una infinidad de lados, cada uno de longitud infinitesimal.

Con el postulado de Leibniz es muy fácil observar que la recta tangente a la gráfica de una función es la mejor aproximación lineal a la función en el punto de tangencia. Y también, el cambio en y debido a un cambio infinitesimal en x, es dy = f'(x) \cdot dx.

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