Setup Menus in Admin Panel

LOGIN
No hay productos en el carrito.

2.13 Derivada de la función inversa

Se ejemplifica el método para calcular la derivada de la función inversa.

Sea $y = f(x)$ una función diferenciable (con respecto a $x$ ) y suponga que su función inversa $x = g(y)$ también sea diferenciable (con respecto a $y$ ). Es obvio que:

$\begin{equation*} \frac{df}{dy} = \frac{dy}{dy} = 1 \qquad\text{y tambi\'en,}\qquad \frac{dg}{dx} = \frac{dx}{dx} = 1 \end{equation*}$

Por consiguiente,

$\begin{equation*} \frac{df}{dy} \cdot \frac{dg}{dx} = \frac{df}{dx} \cdot \frac{dg}{dy} = 1 \qquad\Rightarrow\qquad \frac{dg}{dy} = \frac{1}{\displaystyle\left(\frac{df}{dx}\right)} \end{equation*}$

supuesto que $\nicefrac{df}{dx} \neq 0$ .

En palabras, la razón de cambio de $x$ con respecto a $y$ es inversamente proporcional a la razón de cambio de $y$ con respecto a $x$ (tiene mucho sentido, ¿verdad?)

Ejemplo 2.13.1

Calcule $\nicefrac{dy}{dx}$ a partir de $y^2 = 4\,p\,x$ mediante la fórmula para calcular la derivada de la función inversa y verifique el resultado.

Puesto que $y^2 = 4\,p\,x$ , se sigue que $x = \nicefrac{y^2}{(4\,p)}$ . Calculando la derivada con respecto a $x$ ,

$\begin{equation*} \frac{df}{dx} = \frac{1}{\displaystyle\left(\frac{dg}{dy}\right)} = \frac{1}{\displaystyle\left(\frac{2\,y}{4\,p}\right)} = \frac{2\,p}{y} \end{equation*}$

Es obvio que $y = \pm\sqrt{4\,p\,x}$ . Considerando $y \geq 0$ , la derivada queda:

$\begin{equation*} \frac{dy}{dx} = \frac{2\,p}{y} = \frac{2\,p}{\sqrt{4\,px}} = \sqrt{\frac{p}{x}} \end{equation*}$

Para verificar el resultado, resuelva la ecuación $y^2 = 4\,p\,x$ para $y \geq 0$ , de donde se obtiene: $y = 2\,\sqrt{p\,x} = 2\,\sqrt{p}\,x^{1/2}$ . Su derivada es:

$\begin{equation*} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}\,\left(2\,\sqrt{p}\,\right)\cdot x^{-1/2} = \sqrt{\frac{p}{x}} \end{equation*}$

1 2 3 4

TÚ

Añadir tu comentario

2017 © Aprende Matemáticas. Todos los derechos reservados.

A+

X