2.13 Derivada de la función inversa

Sea $y = f(x)$ una función diferenciable (con respecto a $x$ ) y suponga que su función inversa $x = g(y)$ también sea diferenciable (con respecto a $y$ ). Es obvio que:

$\begin{equation*} \frac{df}{dy} = \frac{dy}{dy} = 1 \qquad\text{y tambi\'en,}\qquad \frac{dg}{dx} = \frac{dx}{dx} = 1 \end{equation*}$

Por consiguiente,

$\begin{equation*} \frac{df}{dy} \cdot \frac{dg}{dx} = \frac{df}{dx} \cdot \frac{dg}{dy} = 1 \qquad\Rightarrow\qquad \frac{dg}{dy} = \frac{1}{\displaystyle\left(\frac{df}{dx}\right)} \end{equation*}$

supuesto que $\nicefrac{df}{dx} \neq 0$ .

En palabras, la razón de cambio de $x$ con respecto a $y$ es inversamente proporcional a la razón de cambio de $y$ con respecto a $x$ (tiene mucho sentido, ¿verdad?)

Ejemplo 2.13.1

Calcule $\nicefrac{dy}{dx}$ a partir de $y^2 = 4\,p\,x$ mediante la fórmula para calcular la derivada de la función inversa y verifique el resultado.

Puesto que $y^2 = 4\,p\,x$ , se sigue que $x = \nicefrac{y^2}{(4\,p)}$ . Calculando la derivada con respecto a $x$ ,

$\begin{equation*} \frac{df}{dx} = \frac{1}{\displaystyle\left(\frac{dg}{dy}\right)} = \frac{1}{\displaystyle\left(\frac{2\,y}{4\,p}\right)} = \frac{2\,p}{y} \end{equation*}$

Es obvio que $y = \pm\sqrt{4\,p\,x}$ . Considerando $y \geq 0$ , la derivada queda:

$\begin{equation*} \frac{dy}{dx} = \frac{2\,p}{y} = \frac{2\,p}{\sqrt{4\,px}} = \sqrt{\frac{p}{x}} \end{equation*}$

Para verificar el resultado, resuelva la ecuación $y^2 = 4\,p\,x$ para $y \geq 0$ , de donde se obtiene: $y = 2\,\sqrt{p\,x} = 2\,\sqrt{p}\,x^{1/2}$ . Su derivada es: