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2.13 Derivada de la función inversa

Se ejemplifica el método para calcular la derivada de la función inversa.

Sea y = f(x) una función diferenciable (con respecto a x) y suponga que su función inversa x = g(y) también sea diferenciable (con respecto a y). Es obvio que:

    \begin{equation*} 	\frac{df}{dy} = \frac{dy}{dy}  = 1 	\qquad\text{y tambi\'en,}\qquad  	\frac{dg}{dx} = \frac{dx}{dx}  = 1 \end{equation*}

Por consiguiente,

    \begin{equation*} 	\frac{df}{dy} \cdot \frac{dg}{dx} = \frac{df}{dx} \cdot \frac{dg}{dy} = 1  	\qquad\Rightarrow\qquad  	\frac{dg}{dy} = \frac{1}{\displaystyle\left(\frac{df}{dx}\right)} \end{equation*}

supuesto que \nicefrac{df}{dx} \neq 0.

En palabras, la razón de cambio de x con respecto a y es inversamente proporcional a la razón de cambio de y con respecto a x (tiene mucho sentido, ¿verdad?)


Ejemplo 2.13.1

Calcule \nicefrac{dy}{dx} a partir de y^2 = 4\,p\,x mediante la fórmula para calcular la derivada de la función inversa y verifique el resultado.

Puesto que y^2 = 4\,p\,x, se sigue que x = \nicefrac{y^2}{(4\,p)}. Calculando la derivada con respecto a x,

    \begin{equation*} 	\frac{df}{dx} = \frac{1}{\displaystyle\left(\frac{dg}{dy}\right)}  		= \frac{1}{\displaystyle\left(\frac{2\,y}{4\,p}\right)} 		= \frac{2\,p}{y}  \end{equation*}

Es obvio que y = \pm\sqrt{4\,p\,x}. Considerando y \geq 0, la derivada queda:

    \begin{equation*} 	\frac{dy}{dx} = \frac{2\,p}{y} = \frac{2\,p}{\sqrt{4\,px}} = \sqrt{\frac{p}{x}} \end{equation*}

Para verificar el resultado, resuelva la ecuación y^2 = 4\,p\,x para y \geq 0, de donde se obtiene: y = 2\,\sqrt{p\,x} = 2\,\sqrt{p}\,x^{1/2}. Su derivada es:

    \begin{equation*} 	\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}\,\left(2\,\sqrt{p}\,\right)\cdot x^{-1/2} = \sqrt{\frac{p}{x}} \end{equation*}



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