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2.13 Derivada de la función inversa

Se ejemplifica el método para calcular la derivada de la función inversa.


Ejemplo 2.13.2


Considere y = x^{1/n} para n\in\mathbb{N}. Verifique la regla de la potencia para este caso aplicando la fórmula de la derivada de la función inversa.

Dado que y = x^{1/n}, se sigue x = y^{n}. Por la regla de la potencia,

    \begin{equation*} \frac{dx}{dy} = n\,y^{n-1} \end{equation*}

Y por la fórmula de la derivada de la función inversa,

    \begin{equation*} \frac{dy}{dx} = \frac{\displaystyle1}{\displaystyle\left(\frac{dx}{dy}\right)} = \frac{1}{n\,y^{n-1}} \end{equation*}

Pero y = x^{1/n}, por lo que

    \begin{equation*} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{n\,y^{n-1}} = \frac{1}{n\,\left(x^{1/n}\right)^{n-1}} = \frac{1}{n\,x^{(n-1)/n}} = \frac{1}{n}\,x^{(1-n)/n} = \frac{1}{n}\,x^{(1/n) - 1} \end{equation*}

Esto es precisamente lo que se obtiene si se aplica la regla de la potencia directamente a la función y = x^{1/n}.


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