2.13 Derivada de la función inversa

Ejemplo 2.13.2

Considere $y = x^{1/n}$ para $n\in\mathbb{N}$ . Verifique la regla de la potencia para este caso aplicando la fórmula de la derivada de la función inversa.

Dado que $y = x^{1/n}$ , se sigue $x = y^{n}$ . Por la regla de la potencia,

$\begin{equation*} \frac{dx}{dy} = n\,y^{n-1} \end{equation*}$

Y por la fórmula de la derivada de la función inversa,

$\begin{equation*} \frac{dy}{dx} = \frac{\displaystyle1}{\displaystyle\left(\frac{dx}{dy}\right)} = \frac{1}{n\,y^{n-1}} \end{equation*}$

Pero $y = x^{1/n}$ , por lo que

$\begin{equation*} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{n\,y^{n-1}} = \frac{1}{n\,\left(x^{1/n}\right)^{n-1}} = \frac{1}{n\,x^{(n-1)/n}} = \frac{1}{n}\,x^{(1-n)/n} = \frac{1}{n}\,x^{(1/n) - 1} \end{equation*}$