2.12 Derivada de funciones trigonométricas inversas

2.12.3 Derivada de la función arcotangente

Sea $y = \arctan x$ . Entonces, $x = \tan y$ . Por diferenciación implícita,

$\begin{equation*} 1 = \sec^2 y\cdot \frac{dy}{dx}\qquad\Rightarrow\qquad \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec^2 y} = \frac{1}{1 + \tan^2 y} = \frac{1}{1 + x^2} \end{equation*}$

Cuando el argumento $v$ de la función es una función de $x$ , por la regla de la cadena:

$\begin{equation*} \frac{d(\arctan v)}{dx} = \frac{1}{1 + v^2}\cdot\frac{dv}{dx} \end{equation*}$

De manera semejante se pueden justificar las fórmulas para calcular la derivada de las funciones $y = \mathrm{arccot}\,(x)$ , $y = \mathrm{arcsec}\,(x)$ , y $y = \mathrm{arccsc}\,(x)$ , las cuales se dejan como ejercicio para el lector.