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2.12 Derivada de funciones trigonométricas inversas

Se justifican las fórmulas para calcular derivadas de funciones trigonométricas inversas.


2.12.3 Derivada de la función arcotangente

Sea y = \arctan x. Entonces, x = \tan y. Por diferenciación implícita,

    \begin{equation*} 1 = \sec^2 y\cdot \frac{dy}{dx}\qquad\Rightarrow\qquad \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec^2 y} = \frac{1}{1 + \tan^2 y} = \frac{1}{1 + x^2} \end{equation*}

Cuando el argumento v de la función es una función de x, por la regla de la cadena:

    \begin{equation*} \frac{d(\arctan v)}{dx} = \frac{1}{1 + v^2}\cdot\frac{dv}{dx} \end{equation*}

De manera semejante se pueden justificar las fórmulas para calcular la derivada de las funciones y = \mathrm{arccot}\,(x), y = \mathrm{arcsec}\,(x), y y = \mathrm{arccsc}\,(x), las cuales se dejan como ejercicio para el lector.

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