2.11 Derivación implícita

Hasta ahora, se han deducido las fórmulas para calcular las derivadas de ciertos tipos de funciones explícitas. A saber, ecuaciones algebraicas de la forma: $y = f (x)$ . Sin embargo, no siempre es posible escribir todas las ecuaciones algebraicas en tal forma.
Por ejemplo, en la ecuación:

$\begin{equation*} \sin(x + y) + \ln y + y = 1 \end{equation*}$

$y$ no se puede escribir solo en función de $x$ . A pesar de esto, es posible calcular la derivada de $y$ con respecto a $x$ .

Para este fin, suponga que es posible considerar $y$ en función de $x$ . Es decir, suponga que por cada par de valores $(x, y)$ que satisfacen dicha expresión, corresponde un valor de $y$ por cada valor de $x$ .

En este caso, calcule la derivada de cada término aplicando la regla de la cadena. Esto hace que el factor $\nicefrac{dy}{dx}$
aparezca en algunos términos de la ecuación resultante. Al resolver la ecuación para obtener la incógnita $\nicefrac{dy}{dx}$ , se obtendrá el resultado buscado.

A esta estratégia de aplicar la regla de la cadena término a término a la expresión dada y despupés despejar $\nicefrac{dy}{dx}$ se conoce como la técnica de derivación implícita para calcular derivadas de funciones que no es han expresado de manera explícita como $y = f(x)$ .

Observación: si no es posible considerar a $y$ como función de $x$ , para todos los valores de $x$ , y $y$ , considere un intervalo cerrado $x\in[x_i, x_f]$ donde se cumpla esta hipótesis.

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Se enuncia la derivación implícita como una aplicación de la regla de la cadena y se ejemplifica en casos concretos.