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2.11 Derivación implícita

Se enuncia la derivación implícita como una aplicación de la regla de la cadena y se ejemplifica en casos concretos.

Ejemplo 2.11.3

Justifique la fórmula para calcular la derivada de la función $y = \log_{a} x$ suponiendo que la fórmula para calcular la derivada de la función $y = a^{x}$ es conocida.

Defina $y = \log_{a} x$ , de manera que $a^{y} = x$ . Ahora calcule la derivada en ambos lados de esta igualdad, para obtener:

$\begin{equation*} a^{y}\cdot\ln a\cdot\frac{dy}{dx} = 1 \qquad\Rightarrow\qquad \frac{dy}{dx} = \frac{1}{a^{y}}\cdot\frac{1}{\ln a} \end{equation*}$

Pero $x = a^{y}$ , y por las propiedades de los logaritmos, $\log_{a}e = \ln a$ . Por consiguiente,

$\begin{equation*} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}\cdot \log_{a} e \end{equation*}$

Cuando la base $a$ es $e$ , el resultado correspondiente es:

$\begin{equation*} f'(x) = \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} \end{equation*}$

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