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2.11 Derivación implícita

Se enuncia la derivación implícita como una aplicación de la regla de la cadena y se ejemplifica en casos concretos.



Ejemplo 2.11.3

Justifique la fórmula para calcular la derivada de la función y = \log_{a} x suponiendo que la fórmula para calcular la derivada de la función y = a^{x} es conocida.

Defina y = \log_{a} x, de manera que a^{y} = x. Ahora calcule la derivada en ambos lados de esta igualdad, para obtener:

    \begin{equation*} 	a^{y}\cdot\ln a\cdot\frac{dy}{dx} = 1	\qquad\Rightarrow\qquad 	\frac{dy}{dx} = \frac{1}{a^{y}}\cdot\frac{1}{\ln a} \end{equation*}

Pero x = a^{y}, y por las propiedades de los logaritmos, \log_{a}e = \ln a. Por consiguiente,

    \begin{equation*} 	\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}\cdot \log_{a} e \end{equation*}

Cuando la base a es e, el resultado correspondiente es:

    \begin{equation*} 	f'(x) = \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} \end{equation*}



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