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2.11 Derivación implícita

Se enuncia la derivación implícita como una aplicación de la regla de la cadena y se ejemplifica en casos concretos.



Ejemplo 2.11.1

Calcule \nicefrac{dy}{dx} a partir de: \sin(x + y) + \ln y + y = 1.

Primero calcule la derivada de cada término de la ecuación con respecto a x aplicando la regla de la cadena:

    \begin{equation*} 	\cos(x + y)\cdot\left(1 + \frac{dy}{dx}\right) + \frac{1}{y}\cdot\frac{dy}{dx} + \frac{dy}{dx} = 0 \end{equation*}

Resolviendo para \nicefrac{dy}{dx} se obtiene:

    \begin{equation*} 	\frac{dy}{dx} = \frac{-\cos(x + y)}{\displaystyle\cos(x + y) + (1 / y) + 1} \end{equation*}


Observe que no se requiere escribir de manera explícita y como una función de x para calcular \nicefrac{dy}{dx}. Como consecuencia, el resultado incluye a ambas variables (x y y) en la expresión correspondiente a la derivada calculada.

Una vez que se conoce la derivada de la función y = \ln x, una forma inteligente de justificar la derivada de la función exponencial es mediante diferenciación implícita como se muestra a continuación.


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