2.10 Derivada de funciones trigonométricas

2.10.1 Resultados preliminares

Para justificar las fórmulas para calcular la derivada de las funciones seno y coseno es necesario probar dos resultados preliminares. Primero se da la prueba de que $\sin(dx) / dx = 1$ . Para este fin, la siguiente figura muestra un arco de radio 1 subtendido por un ángulo de magnitud infinitamente pequeña $dx$ .

Como la longitud de la hipotenusa del triángulo rectángulo es 1, la longitud del cateto vertical (dibujado como una línea discontinua) es $\sin(dx)$ . La longitud $s$ del arco es $1 \cdot dx = dx$ . Y debido a que es un arco infinitamente pequeño, según el postulado de Leibniz, es recto.

Recuerde que la recta tangente al círculo unitario en el punto $(1,0)$ es perpendicular al eje $x$ , así como el segmento de longitud $\sin (dx)$ . Siendo el arco de longitud $s$ un segmento de recta, está sobre la recta tangente en el punto $(1,0)$ . Entonces, el cateto vertical y el arco son el mismo segmento, porque ambos tienen los mismos puntos inicial y final, y por lo tanto tienen la misma longitud. Algebraicamente,

$\begin{equation*} \sin(dx) = dx\qquad\Rightarrow\qquad \frac{\sin(dx)}{dx} = 1 \end{equation*}$

que es lo que debía justificarse. (Vea el ejemplo 2.3.1, en la unidad de aprendizaje titulada El postulado de Leibniz donde se resuelve un problema análogo: se muestra que la tangente a la gráfica de $y = x^2$ at $(0,0)$ es una línea recta horizontal.)

Además, es necesario calcular: $\left[\cos(dx) - 1\right]/dx$ . Por trigonometría elemental, se sabe que:

$\begin{equation*} \sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1 - \cos(\alpha)}{2} \end{equation*}$

Usando esta identidad trigonométrica, se sigue que:

$\begin{eqnarray*} \frac{\cos(dx) - 1}{dx} &=& \frac{\displaystyle-2\cdot\sin^2\left(\frac{dx}{2}\right)}{dx} %\\ = -\frac{2\,\sin\left(\displaystyle\frac{dx}{2}\right)}{dx}\cdot\sin\left(\frac{dx}{2}\right) \\ &=& -\frac{\sin\left(\displaystyle\frac{dx}{2}\right)}{\left(\displaystyle\frac{dx}{2}\right)}\cdot\sin\left(\frac{dx}{2}\right) = -(1)(0) = 0 \end{eqnarray*}$