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2.10 Derivada de funciones trigonométricas

Se deducen las fórmulas para calcular derivadas de funciones trigonométricas.

2.10.1 Resultados preliminares

Para justificar las fórmulas para calcular la derivada de las funciones seno y coseno es necesario probar dos resultados preliminares. Primero se da la prueba de que \sin(dx) / dx = 1. Para este fin, la siguiente figura muestra un arco de radio 1 subtendido por un ángulo de magnitud infinitamente pequeña dx.

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Como la longitud de la hipotenusa del triángulo rectángulo es 1, la longitud del cateto vertical (dibujado como una línea discontinua) es \sin(dx). La longitud s del arco es 1 \cdot dx = dx. Y debido a que es un arco infinitamente pequeño, según el postulado de Leibniz, es recto.

Recuerde que la recta tangente al círculo unitario en el punto (1,0) es perpendicular al eje x, así como el segmento de longitud \sin (dx). Siendo el arco de longitud s un segmento de recta, está sobre la recta tangente en el punto (1,0). Entonces, el cateto vertical y el arco son el mismo segmento, porque ambos tienen los mismos puntos inicial y final, y por lo tanto tienen la misma longitud. Algebraicamente,

    \begin{equation*} 	\sin(dx) = dx\qquad\Rightarrow\qquad \frac{\sin(dx)}{dx} = 1 \end{equation*}

que es lo que debía justificarse. (Vea el ejemplo 2.3.1, en la unidad de aprendizaje titulada El postulado de Leibniz donde se resuelve un problema análogo: se muestra que la tangente a la gráfica de y = x^2 at (0,0) es una línea recta horizontal.)

Además, es necesario calcular: \left[\cos(dx) - 1\right]/dx. Por trigonometría elemental, se sabe que:

    \begin{equation*} 	\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1 - \cos(\alpha)}{2} \end{equation*}

Usando esta identidad trigonométrica, se sigue que:

    \begin{eqnarray*} 	\frac{\cos(dx) - 1}{dx} &=& \frac{\displaystyle-2\cdot\sin^2\left(\frac{dx}{2}\right)}{dx}		%\\ 		= -\frac{2\,\sin\left(\displaystyle\frac{dx}{2}\right)}{dx}\cdot\sin\left(\frac{dx}{2}\right) \\ 		&=& -\frac{\sin\left(\displaystyle\frac{dx}{2}\right)}{\left(\displaystyle\frac{dx}{2}\right)}\cdot\sin\left(\frac{dx}{2}\right) 		= -(1)(0) = 0 \end{eqnarray*}

Con estos dos resultados probados, es posible deducir las fórmulas para calcular las derivadas de las funciones trigonométricas seno y coseno.


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