2.10 Derivada de funciones trigonométricas

2.10.4 Derivada de la función tangente

Para deducir la fórmula para calcular la derivada de la función tangente, aplique la identidad trigonométrica: $\tan x = \nicefrac{\sin x}{\cos x}$ , junto con la regla del cociente:

$\begin{equation*} \frac{\displaystyle d\left(\frac{u}{v}\right)}{dx} = \frac{\displaystyle v\cdot \frac{du}{dx} - u\cdot \frac{dv}{dx}}{v^2} \end{equation*}$

Defina $u = \sin x$ , y $v = \cos x$ . Entonces: $\nicefrac{du}{dx} = \cos x$ , y $\nicefrac{dv}{dx} = -\sin x$ . Por lo tanto,

$\begin{equation*} \frac{d\left(\tan x\right)}{dx} = \frac{\displaystyle d\left(\!\frac{\sin x}{\cos x}\!\right)}{dx} %\\ = \frac{(\cos x)(\cos x) - (\sin x)(-\sin x)}{(\cos x)^2} %\\ = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} %\\ = \frac{1}{\cos^2 x} %\\ = \sec^2 x \end{equation*}$

Cuando el argumento de la función tangente es otra función de $x$ , por ejemplo $v$ , aplicando la regla de la cadena, se obtiene el siguiente resultado: