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2.10 Derivada de funciones trigonométricas

Se deducen las fórmulas para calcular derivadas de funciones trigonométricas.


2.10.4 Derivada de la función tangente

Para deducir la fórmula para calcular la derivada de la función tangente, aplique la identidad trigonométrica: \tan x = \nicefrac{\sin x}{\cos x}, junto con la regla del cociente:

    \begin{equation*} 	\frac{\displaystyle d\left(\frac{u}{v}\right)}{dx}  		= \frac{\displaystyle v\cdot \frac{du}{dx} - u\cdot \frac{dv}{dx}}{v^2} \end{equation*}

Defina u = \sin x, y v = \cos x. Entonces: \nicefrac{du}{dx} = \cos x, y \nicefrac{dv}{dx} = -\sin x. Por lo tanto,

    \begin{equation*} \frac{d\left(\tan x\right)}{dx} = 	\frac{\displaystyle d\left(\!\frac{\sin x}{\cos x}\!\right)}{dx}	%\\ 	= \frac{(\cos x)(\cos x) - (\sin x)(-\sin x)}{(\cos x)^2}	%\\ 	= \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x}	%\\ 	= \frac{1}{\cos^2 x}	%\\ 	= \sec^2 x \end{equation*}

Cuando el argumento de la función tangente es otra función de x, por ejemplo v, aplicando la regla de la cadena, se obtiene el siguiente resultado:

    \begin{equation*} 	\frac{d\left(\tan v\right)}{dx} = \sec^2v\cdot \frac{dv}{dx} \end{equation*}

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