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2.10 Derivada de funciones trigonométricas

Se deducen las fórmulas para calcular derivadas de funciones trigonométricas.


2.10.3 Derivada de la función coseno

Sea y = \cos x. Para deducir la fórmula para calcular su derivada, aplique la regla de los cuatro pasos:

    \begin{equation*} 	\frac{dy}{dx} = \frac{f(x + dx) - f(x)}{dx} 		= \frac{\cos(x + dx) - \cos(x)}{dx}	% 		%= \frac{1}{dx} \cdot \left[\cos(x + dx) - \cos(x)\right] \end{equation*}

La simplificación de esta expresión es posible usando la siguiente identidad trigonométrica:

    \begin{equation*} 	\cos(u + v) = \cos u \cdot \cos v - \sin u \cdot \sin v \end{equation*}

con u = x, y v = dx. Aplicando esto, se sigue que:

    \begin{equation*} 	\frac{dy}{dx} = \frac{\cos(x + dx) - \cos(x)}{dx}  %\\ 	 = \frac{\cos x \cdot \cos(dx) - \sin x \cdot \sin(dx) - \cos x}{dx}	  \end{equation*}

En este caso, factorice \cos(x) del primer y último término en el numerador.

    \begin{equation*} 	\frac{dy}{dx} = \frac{\cos x \cdot \cos(dx) - \sin x \cdot \sin(dx) - \cos(x)}{dx}	 %\\ 		= \cos x\cdot\left(\frac{\cos(dx) - 1}{dx}\right) - \sin x\cdot\left(\frac{\sin(dx)}{dx}\right) \end{equation*}

Por los resultados preliminares, la simplificación algebraica da:

    \begin{equation*} 	\frac{dy}{dx} = -\sin(x) \end{equation*}

En palabras, la derivada de la función coseno es el negativo de la función seno.

Cuando el argumento de la función coseno no es x, sino una función de x, por ejemplo v, la aplicación de la regla de la cadena resulta:

    \begin{equation*} 	\frac{d(\cos (v))}{dx} = -\sin(v)\cdot\frac{dv}{dx} \end{equation*}


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