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2.10 Derivada de funciones trigonométricas

Se deducen las fórmulas para calcular derivadas de funciones trigonométricas.


2.10.2 Derivada de la función seno

Sea y = \sin x. Ahora aplique la regla de los cuatro pasos directamente a esta función:

    \begin{equation*} 	\frac{dy}{dx} = \frac{f(x + dx) - f(x)}{dx} 	= \frac{\sin(x + dx) - \sin(x)}{dx} 	%= \frac{1}{dx} \cdot \left[\sin(x + dx) - \sin(x)\right] \end{equation*}

Es posible simplificar esta expresión aplicando la siguiente identidad trigonométrica:

    \begin{equation*} 	\sin(u + v) = \sin u \cdot \cos v + \cos u \cdot \sin v \end{equation*}

con u = x, y v = dx. En consecuencia,

    \begin{equation*} 	\frac{dy}{dx} = \frac{\sin(x + dx) - \sin(x)}{dx} %\\ 	 = \frac{\sin x \cdot \cos(dx) + \cos x \cdot \sin(dx) - \sin(x)}{dx} \end{equation*}

Factorizando \sin x del primer y último término en el numerador, se obtiene:

    \begin{equation*} 	\frac{dy}{dx} %&=& \frac{\sin x \cdot \cos (dx) + \cos x \cdot \sin (dx) - \sin(x)}{dx} \\ 		%&=&  		= \sin x\cdot\left(\frac{\cos(dx) - 1}{dx}\right) + \cos x\cdot\left(\frac{\sin(dx)}{dx}\right) \end{equation*}

De los resultados preliminares se sabe que

    \begin{equation*} 	\frac{\cos(dx) - 1}{dx} = 0 		\qquad\text{ al igual que }\qquad  	\frac{\sin(dx)}{dx} = 1	 \end{equation*}

Consecuentemente,

    \begin{equation*} 	\frac{dy}{dx} = \cos(x)  \end{equation*}

En palabras, la derivada de la función seno es la función coseno.

Para el caso más general, cuando el argumento de la función seno no es x, sino una función de x, por ejemplo v, la aplicación de la regla de la cadena da:

    \begin{equation*} 	\frac{d(\sin (v))}{dx} = \cos(v)\cdot\frac{dv}{dx} \end{equation*}


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