2.1 La derivada

Una función $y = f(x)$ relaciona las cantidades variables, $x$ , $y$ .En palabras dice que si se evalúa la función en $x$ , da $y = f (x)$ . Dé un incremento $\Delta x$ a $x$ y evalúe la función en $x + \Delta x$ para obtener $f (x + \Delta x)$ . El cambio $\Delta y$ en los valores de la función, desde su valor inicial $f (x)$ al valor final $f(x + \Delta x)$ viene dado por $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)$ .

La razón de cambio promedio de una variable con respecto a la otra, desde el punto $(x, f(x))$ al punto $(x + \Delta x, f(x + \Delta x))$ , se puede calcular fácilmente de la siguiente manera:

$\begin{equation*} m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \end{equation*}$

Dado que $\Delta y = m\cdot \Delta x$ , no hace falta decir que $\Delta y = m$ precisamente cuando $\Delta x = 1$ . Es decir, el número $m$ representa el cambio en $y$ debido a un incremento unitario en $x$ . Esta interpretación para el número $m$ se puede usar para calcular el cambio en $y$ debido a un cierto cambio en $x$ , suponiendo que la razón de cambio de la función permanece constante en dicho intervalo.

Para calcular la razón de cambio promedio de una función dada, se requieren necesariamente las coordenadas de dos puntos en la gráfica de la función. Para calcular la razón de cambio de la función para un valor dado $x = x_0$ , aplique la misma idea. Pero en lugar de aumentar el valor de $x$ en $\Delta x$ , dé un incremento infinitesimal $dx$ . Este incremento en $x$ provoca un incremento infinitamente pequeño en $y$ , que se denota con $dy$ . La razón de cambio de la función dada en $x$ es $f'(x) = \nicefrac{dy}{dx}$ .

Entonces, para calcular la razón de cambio de la función en $x$ , (i) evalúe la función $y = f (x)$ en $x + dx$ y también en $x$ . (ii) El incremento en la función $dy$ es la diferencia de estos valores: $dy = f (x + dx) - f (x)$ . (iii) La razón de cambio de $y = f (x)$ con respecto a $x$ (denotado por $f'(x)$ ) se puede calcular dividiendo $dy$ sobre $dx$ :

$\begin{equation*} f'(x) = \frac{dy}{dx} = \frac{f(x + dx) - f(x)}{dx} \end{equation*}$

(iv) Finalmente, simplifique la expresión en caso de ser posible.

Derivada

La derivada de una función $f$ con respecto a la variable $x$ se denota por $f'(x)$ y representa la relación de un cambio infinitesimal de la función con respecto a su variable independiente:
$\begin{equation*} f'(x) = \frac{dy}{dx} = \frac{f(x + dx) - f(x)}{dx} \end{equation*}$

Observe que se asume en la definición de $f'(x)$ que $y = f (x)$ es finito y que el cociente $\nicefrac{dy}{dx}$ existe. En caso de que $y = f (x)$ no sea finita en $x$ , o $x$ no sea un elemento de su dominio, o el cociente $dy / dx$ no se pueda calcular, se dice que la función $y = f (x)$ no es diferenciable en ese punto en particular. Si es posible calcular la derivada de una función para todo $x$ en el intervalo $[a, b]$ , se dice que la función es diferenciable en el intervalo dado.

Suponga que $m$ es la pendiente de la línea tangente a la gráfica de la función. Entonces $\nicefrac{dy}{dx} = f'(x)$ es su pendiente. Si $\alpha$ es el ángulo de inclinación de la recta tangente, entonces $f'(x) = \nicefrac{dy}{dx} = \tan\alpha$ . Por lo tanto, para calcular la inclinación $\alpha$ evalúe la derivada de la función dada en el punto de tangencia, y utilice $\alpha = \arctan\left(\nicefrac{dy}{dx}\right)$ .

Sea $y = m\,x + b$ , la ecuación de la línea tangente a la gráfica para la función $y = f (x)$ en el punto $(x_{1}, y_{1})$ . Su pendiente viene dada por la derivada de la función $\nicefrac{dy}{dx} = f'(x)$ evaluada en el punto de tangencia $(x_{1}, y_{1})$ . Por lo que,
$m = f'(x_{1})$ .

Como la línea recta pasa por el punto $(x_{1}, y_{1})$ , la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $y = f(x)$ at $(x_{1}, y_{1})$ es:

$\begin{equation*} y - y_{1} = f'(x_{1})\,(x - x_{1}) \end{equation*}$

La recta normal (perpendicular) a la gráfica en un punto, se define como la perpendicular a la recta tangente a la gráfica de la función en el punto dado. Se sabe que la pendiente de la perpendicular a $y - y_{1} = m\,(x - x_{1})$ es $-1/m$ , por lo que la ecuación de la recta normal a la gráfica de la función $y = f(x)$ en el punto $(x_{1}, y_{1})$ es: