2.1 La derivada

Ejemplo 2.1.1

Defina «rapidez instantánea» usando infinitesimales

La rapidez promedio de una partícula que se mueve a lo largo de una línea recta se define como la razón de la distancia recorrida al tiempo ocupado en recorrer esa distancia. Considere la gráfica de la posición $x$ con respecto al tiempo $t$ . Geométricamente, la rapidez promedio es la pendiente de la recta secante a la gráfica de la función $x = x (t)$ que pasa por los puntos $(t, x (t))$ y $(t + \Delta t, x(t + \Delta t))$ .

$\begin{equation*} \bar{v} = \frac{x(t + \Delta t) - x(t)}{\Delta t} = \frac{\Delta x}{\Delta t} \end{equation*}$

Observe que para calcular la rapidez promedio, se requiere considerar dos puntos en el tiempo. Por lo que, en general, esto no es igual a la rapidez instantánea en un valor del tiempo, $t$ .

La rapidez instantánea se calcula usando la misma idea empleada para calcular la rapidez promedio. Pero en lugar de considerar dos valores para el tiempo con una diferencia finita $\Delta t$ , use dos valores infinitamente cercanos $t$ y $t + dt$ , de modo que el intervalo de tiempo $dt$ y la distancia recorrida correspondiente $dx$ , sean cantidades infinitamente pequeñas.

Como $t$ y $t + dt$ están infinitamente cercanos, geométricamente, como números reales, están en la misma ubicación, en $t$ . En el eje hiperreal, se representan en dos ubicaciones diferentes (infinitamente cercanas): $t$ y $t + dt$ . Si la función $x = x(t)$ es diferenciable en $t$ , los valores correspondientes para $x$ de esos puntos también son infinitamente cercanos, y el cambio de posición es $dx = x(t + dt) - x(t)$ . Luego, la rapidez instantánea es:

$\begin{equation*} v(t) = \frac{dx}{dt} = \frac{x(t + dt) - x(t)}{dt} \end{equation*}$

Entonces, la rapidez instantánea se define como la derivada de la posición expresada en función del tiempo (esto es, la razón de cambio instantánea de la posición con respecto al tiempo). Geométricamente, la rapidez instantánea es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función $x = x (t)$ en el punto $(t, x)$ .

Leibniz pensó en la rapidez instantánea como la razón de cambio de posición $dx$ con respecto al tiempo transcurrido $dt$ (de manera semejante a $\Delta x$ sobre $\Delta t$ para la rapidez promedio.) En ambos casos, el resultado es una razón de cambio. Para la rapidez promedio, es una razón de cambio promedio, la pendiente de la secante a la gráfica de la función, y para la rapidez instantánea, es una razón de cambio instantánea, la pendiente corresponde a la de la tangente a la gráfica de $x = x (t)$ en el punto $(t, x)$ , como se muestra en la figura del ejemplo anterior.

De manera semejante, se puede definir y calcular la aceleración instantánea. La aceleración es la razón a la que la rapidez cambia con el tiempo (en general, el cambio puede involucrar tanto la rapidez como la dirección). Si el objeto o partícula se mueve en línea recta, solo hay un cambio en la rapidez, porque la dirección permanece sin cambios. En consecuencia, la aceleración promedio es el cambio de rapidez durante el tiempo requerido para ese cambio:

$\begin{equation*} \overline{a} = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{\text{Cambio en la rapidez}}{\text{Cambio en el tiempo}} \end{equation*}$

Un incremento infinitamente pequeño $dt$ en el tiempo $t$ ocasiona un cambio infinitamente pequeño $dv$ en la rapidez $v$ , y la relación $dv / dt$ corresponde a la aceleración en un instante dado $t$ : $a = \nicefrac{dv}{dt}$ .

Observe que la aceleración es positiva si el incremento de la rapidez es positivo, es decir, si está aumentando, y se produce una aceleración negativa cuando $dv$ es negativo, lo que implica que la rapidez está disminuyendo. El mismo argumento puede aplicarse a la rapidez y el desplazamiento: una rapidez positiva implica que el desplazamiento está aumentando y una rapidez negativa indica que el desplazamiento está disminuyendo.

Como la rapidez instantánea es la (primera) derivada de la posición, la aceleración es la derivada de la derivada de la posición. Esto se llama la segunda derivada de la función $x = x (t)$ y se denota como $a(t) = \nicefrac{d^{2}x}{dt^{2}}$ . La primera derivada correspondiente utilizada para definir la rapidez instantánea es: $v(t) = \nicefrac{dx}{dt}$ . De manera similar, se pueden calcular derivadas de orden superior y la generalización de la notación es sencilla: la $i-$ ésima derivada de $y = f (x)$ se denota por

$\begin{equation*} f^{(i)}(x) = \frac{d^{i}y}{dx^{i}} \end{equation*}$

En la definición de la derivada de una función, existe un procedimiento implícito para calcular la derivada de cualquier función, que se hace explícito en la siguiente unidad de aprendizaje.

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Se define la derivada de una función acorde a Leibniz.

Ejemplo 2.1.1