1.3 Propiedades algebraicas de los infinitesimales

La magnitud de los infinitesimales se puede comparar usando proporciones entre ellos (Lodge, 1913. (Pg. 3)). Al respecto, Euler afirmó (vea la página 55 de «Lacroix and the Calculus», por Caramalho, 2008) que, «… siempre hay un número finito $p$ tal que $dy : dx = p : 1$ » (Euler, differentialis, I, § 120). Por lo tanto:

$\begin{equation*} dy : 1 = p : \nicefrac{1}{dx} \end{equation*}$

De aquí que, $1 / dy = N / p$ , donde $N = 1/dx$ es una cantidad infinitamente grande. En palabras, tantas veces como 1 contiene a $dy$ , $N$ contiene tantos de $p$ . Es decir, lo infinitesimal es a lo finito como lo finito es a lo infinitamente grande. En consecuencia, de la misma manera, que agregar una cantidad finita a una cantidad infinitamente grande no cambia en última instancia el valor de lo infinitamente grande, agregar una cantidad infinitamente pequeña a una cantidad finita, no causa cambio alguno en el valor de la cantidad finita (básicamente, esta es la justificación para $m + dx = m$ cuando $dx$ es infinitamente pequeño y diferente de cero. Es la analogía para $\infty + m = \infty$ aceptado para cualquier $m$ finito.)

Basado en la afirmación de Euler antes mencionada, se postulan las siguientes propiedades de las cantidades infinitamente pequeñas.

(1) Según la definición de infinitesimal, $dx$ es menor que cualquier cantidad positiva que se pueda asignar. Por lo tanto, la diferencia de $m + dx$ menos $m$ es menor que cualquier número real positivo, por pequeño que sea. Por lo tanto, la primera propiedad algebraica es:
Cuando se agrega un infinitesimal $dx$ a un número real $m$ , se obtiene el número real.
$\begin{equation*} m + dx = m \end{equation*}$
La expresión $m + dx$ es un número hiperreal, cuya parte estándar $m$ representa el número real más cercano al número hiperreal $m + dx$ .
(2) Entre dos números reales $x$ y $\hat{x}$ , no importa qué tan cerca estén, hay una cantidad infinitamente grande de infinitesimales. Debido a esto, la suma de cualquier cantidad finita de infinitesimales es un infinitesimal.
La suma de cualquier número finito de infinitesimales es infinitesimal.
$\begin{equation*} dx + dy + \cdots + du\quad\text{ es un infinitesimal.} \end{equation*}$
Observe que los infinitesimales que se suman no necesitan ser iguales. Si son iguales, se cumple la siguiente propiedad.
(3) Puesto que
$\begin{equation*} k\cdot dx = dx + dx + dx + \cdots + dx \quad \text{($k$ t\'erminos sum\'andose).} \end{equation*}$
por la propiedad algebraica anterior de infinitesimales, $k \cdot dx$ debe ser un infinitesimal.
El producto de una constante finita $k \in \mathbb{R}$ por un infinitesimal, es un infinitesimal.
$\begin{equation*} k\cdot dx\quad\text{ es un inf{}initesimal.} \end{equation*}$
(4) Se dice que un infinitesimal de la forma $dx = 1 / N$ es de primer orden, si $N = n (\mathbb {N})$ es el número
de elementos del conjunto de números naturales ( $\mathbb {N}$ ). Un infinitesimal de segundo orden se obtiene como el producto de dos infinitesimales de primer orden. Un infinitesimal de tercer orden se obtiene como producto de tres infinitesimales de primer orden, y así sucesivamente.
El producto de cualquier número de infinitesimales es un infinitesimal.
$\begin{equation*} dx \cdot dy \cdot \cdots \cdot du\quad\text{ es un infinitesimal.} \end{equation*}$
(5) Sean $du$ y $dv$ sean dos infinitesimales del mismo orden, digamos $k > 0$ . Entonces, por definición de infinitesimal, $du = \nicefrac{p}{N^{k}}$ y $dv = \nicefrac{q}{N^{k}}$ , donde $p$ y $q$ son constantes finitas, en general, ambas diferentes de cero. La razón $\nicefrac{du}{dv}$ es,
$\begin{equation*} \frac{du}{dv} = \frac{\displaystyle\frac{p}{N^{k}}}{\displaystyle\frac{q}{N^{k}}} = \frac{p}{q} \end{equation*}$
siempre que $q \neq 0$ . Es decir,
La razón de dos infinitesimales distintos de cero del mismo orden es una cantidad finita.
Ya que $\nicefrac{(dx)^{k}}{(dy)^{k}} = r$ , implica $(dx)^{k} = r \cdot (dy)^{k}$ , el producto de una cantidad finita multiplicado por un infinitesimal de cualquier orden es un infinitesimal del mismo orden.
(6) Dado que $N = 1/dx = dx/(dx)^2$ , tantas veces como 1 contiene a $dx$ , la cantidad $dx$ contiene a $(dx)^2$ , es decir, una cantidad infinitamente grande. En otras palabras, $(dx)^2$ es infinitamente pequeño en comparación con $dx$ . Del mismo modo, $(dx)^3$ es infinitamente pequeño en relación con $(dx)^2$ , y así sucesivamente. (Otra forma de ver esto: por propiedad (3), cuando una cantidad $p$ se multiplca por un infinitesimal $dx$ , el resultado es infinitamente pequeño en comparación con $p$ .) Por la propiedad (1) cuando a una cantidad $p$ , se agrega una cantidad infinitamente pequeña en comparación con $p$ , el resultado es $p$ . Por consiguiente, $dx + (dx)^2 + \cdots + (dx)^n = dx$ .
Cuando se suman dos o más infinitesimales de diferente orden, se obtiene el infinitesimal de menor orden.
$\begin{equation*} dx + (dx)^2 + \cdots + (dx)^n = dx \end{equation*}$
(7) Dado que $dx = 1 / N$ es un infinitesimal para $N$ infinitamente grande (en matemáticas, el símbolo $\infty$ se usa para indicar una cantidad infinitamente grande. En este texto, la letra $N$ se usará para indicar la cardinalidad del conjunto de números naturales), se sigue que $N = 1 / dx$ ,
El recíproco de un infinitesimal es una cantidad infinitamente grande.
$\begin{equation*} \frac{1}{dx} = N \end{equation*}$
(8) Un infinitesimal elevado a la potencia
- a) Por la propiedad (4), El producto de cualquier cantidad de infinitesimales es un infinitesimal. Si todos los factores $n$ son el mismo infinitesimal ( $dx$ ), entonces
  $dx^{n}$ es un infinitesimal si $n > 0$ .
- b) Puesto que $dx^{-n} = 1 / dx^{n} = \left(1 / dx\right)^{n} = N^{n}$ , para $N$ infinitamente grande. Por la propiedad (6),
  $dx^{n}$ es una cantidad infinitamente grande si $n < 0$ .
- c) Como cualquier cantidad diferente de cero dividida por sí misma es igual a 1, se deduce que $dx/dx = 1$ para $dx \neq 0$ . Entonces,
  $dx^{n}$ es 1 si $n = 0$ .
La propiedad 8 permite la aplicación de las reglas del álgebra elemental para las expresiones con exponentes en las que aparecen los infinitesimales (para un estudio más riguroso de las propiedades algebraicas de las cantidades infinitesimales, lea el libro de Keisler titulado «Cálculo elemental. Un enfoque infinitesimal» (Keisler, 2005).)
Ejercicios: Vea la página 7 del documento al que se puede acceder aquí.

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1.3 Propiedades algebraicas de los infinitesimales

Se postulan las propiedades de los infinitesimales.