Considere la expresión:
donde indica que la sucesión de 3’s continúa infinitamente. Multiplique ambos lados de la ecuación anterior por
para obtener
Observe que , donde
es infinitamente grande, pues la sucesión de dígitos (9) después del punto decimal es infinita. Es decir, la diferencia:
es una cantidad infinitamente pequeña que, como número real, se puede considerar igual a cero:
Para verificar que efectivamente , sea
, de tal manera que
. Restando de la última ecuación, la previa, se obtiene:
En palabras, es igual a
(porque su diferencia es infinitamente pequeña). Note que no hay problema en considerar
igual a cero para
infinitamente grande, pues
es menor que cualquier cantidad positiva que se pueda asignar —es una cantidad infinitamente pequeña, a la cual se denomina «infinitesimal».
Infinitesimal
Una cantidad positiva es un infinitesimal si es menor que cualquier número real positivo, por pequeño que éste sea.
Del mismo modo, una cantidad infinitamente grande es mayor que cualquier número real positivo, por grande que éste sea.
Un infinitesimal de la variable se denota por
. Observe que
no representa el producto de
por
. La literal
está reservada para fines de notación.
Leibniz consideró que se puede obtener un infinitesimal como el cociente de un número real finito (positivo) sobre una cantidad infinitamente grande. Sea , el número de elementos del conjunto de los números naturales. Por supuesto,
es una cantidad infinitamente grande. Se puede obtener una cantidad infinitamente pequeña
como resultado de dividir 1 entre
:
Para interpretar geométricamente, considere el intervalo
en el eje
dividido en
partes, todas del mismo tamaño (en este caso, siendo
la cardinalidad del conjunto de los números naturales,
representa el infinito. Sin embargo, observe que dado que se supone que todas las partes obtenidas en la construcción geométrica tienen la misma longitud,
representa el infinito actual.) Cada una de estas partes tiene una longitud infinitesimal, denotada por
.
Ahora, considere un número ubicado en el eje real. Suponga que
es el punto más cercano a
a su derecha en el eje real (si Leibniz hubiera tenido la necesidad de formalizarlo, posiblemente hubiera utilizado este acercamiento. Recuerde que la densidad de los reales no estaba definida en la época de Leibniz, por ello podría hacer este supuesto. Sin embargo, es Robinson quien utiliza algo semejante a esta idea en su formalización de los infinitesimales, según Keisler (2005)), como se muestra en la siguiente figura:
Aplique un zoom infinitamente grande sobre el punto , para poder ver los infinitesimales alrededor de
y antes del siguiente punto (real)
. De hecho, hay una cantidad infinita de infinitesimales (Vea:
https://plato.stanford.edu/entries/continuity/
) entre y
.
El eje que se muestra en la figura anterior no es el eje real. Se llama eje hiperreal (Keisler (2005)), y se denota por .
Números hiperreales
El conjunto de los números hiperreales (denotado por

Puesto que donde
es una cantidad infinitamente grande, se deduce que
. Esta expresión puede interpretarse de la siguiente manera: para obtener 1, tenemos que sumar una cantidad infinita de infinitesimales
, todos del mismo tamaño. Entonces, si sumamos una cantidad finita de infinitesimales, no podemos obtener un número real. En otras palabras, el resultado de la multiplicación de un número real por un infinitesimal es un infinitesimal (el resultado no puede ser un número real, porque requiere una cantidad infinita de infinitesimales sumados). Esta y otras propiedades algebraicas de los infinitesimales se postulan en la siguiente sección.
Cantidad finita
Cualquier cantidad que no sea ni infinitesimal, ni infinitamente grande.
Por lo tanto, se considera que una cantidad finita representa una cantidad que puede expresarse como un número real asignable. Dado que y
están infinitamente cerca uno del otro, para dos números hiperreales infinitamente cercanos,
y
,
es un infinitesimal. Es decir, como números reales,
y
son el mismo número (Keisler (2011).)
Es importante mencionar que un infinitesimal no es un número real. El infinitesimal
no puede ser un número real porque esta cantidad se puede agregar a cualquier número real
y la suma es
. En único infinitesimal que es un número real es el número 0.
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