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1.2 Infinitesimales

Se da la definición de infinitesimal como una cantidad infinitamente pequeña.

Considere la expresión:

$\begin{equation*} \frac{1}{3} = 0.33333333333\cdots \end{equation*}$

donde $\cdots$ indica que la sucesión de 3’s continúa infinitamente. Multiplique ambos lados de la ecuación anterior por $3$ para obtener

$\begin{equation*} 1 = 0.999999999\cdots \end{equation*}$

Observe que $0.9999 \cdots = 1 - 1/10^{N}$ , donde $N$ es infinitamente grande, pues la sucesión de dígitos (9) después del punto decimal es infinita. Es decir, la diferencia: $1 - 0.999\cdots = 1 / 10^{N}$ es una cantidad infinitamente pequeña que, como número real, se puede considerar igual a cero:

$\begin{equation*} 1 = 0.999999999\cdots \qquad\Rightarrow\qquad 1 - 0.999999999\cdots = 0 %= \frac{1}{10^{N}} \end{equation*}$

Para verificar que efectivamente $1 = 0.9999999\cdots$ , sea $x = 0.9999999 \cdots$ , de tal manera que $10\,x = 9.99999 \cdots$ . Restando de la última ecuación, la previa, se obtiene:

$\begin{equation*} 9\,x = 9\qquad\Rightarrow\qquad x = 1 \end{equation*}$

En palabras, $1$ es igual a $0.9999\cdots$ (porque su diferencia es infinitamente pequeña). Note que no hay problema en considerar $1 / 10^{N}$ igual a cero para $N$ infinitamente grande, pues $1 / 10^{N}$ es menor que cualquier cantidad positiva que se pueda asignar —es una cantidad infinitamente pequeña, a la cual se denomina «infinitesimal».

Infinitesimal

Una cantidad positiva es un infinitesimal si es menor que cualquier número real positivo, por pequeño que éste sea.

Del mismo modo, una cantidad infinitamente grande es mayor que cualquier número real positivo, por grande que éste sea.

Un infinitesimal de la variable $x$ se denota por $dx$ . Observe que $dx$ no representa el producto de $d$ por $x$ . La literal $d$ está reservada para fines de notación.

Leibniz consideró que se puede obtener un infinitesimal como el cociente de un número real finito (positivo) sobre una cantidad infinitamente grande. Sea $N = n (\mathbb{N})$ , el número de elementos del conjunto de los números naturales. Por supuesto, $N$ es una cantidad infinitamente grande. Se puede obtener una cantidad infinitamente pequeña $dx$ como resultado de dividir 1 entre $N$ :

$\begin{equation*} dx = \frac{1}{N} \end{equation*}$

Para interpretar $dx$ geométricamente, considere el intervalo $[0,1]$ en el eje $x$ dividido en $N$ partes, todas del mismo tamaño (en este caso, siendo $N$ la cardinalidad del conjunto de los números naturales, $N$ representa el infinito. Sin embargo, observe que dado que se supone que todas las partes obtenidas en la construcción geométrica tienen la misma longitud, $N$ representa el infinito actual.) Cada una de estas partes tiene una longitud infinitesimal, denotada por $dx$ .

Ahora, considere un número $x$ ubicado en el eje real. Suponga que $\hat{x}$ es el punto más cercano a $x$ a su derecha en el eje real (si Leibniz hubiera tenido la necesidad de formalizarlo, posiblemente hubiera utilizado este acercamiento. Recuerde que la densidad de los reales no estaba definida en la época de Leibniz, por ello podría hacer este supuesto. Sin embargo, es Robinson quien utiliza algo semejante a esta idea en su formalización de los infinitesimales, según Keisler (2005)), como se muestra en la siguiente figura:

Aplique un zoom infinitamente grande sobre el punto $x$ , para poder ver los infinitesimales alrededor de $x$ y antes del siguiente punto (real) $\hat{x}$ . De hecho, hay una cantidad infinita de infinitesimales (Vea: https://plato.stanford.edu/entries/continuity/) entre $x$ y $\hat{x}$ .

El eje que se muestra en la figura anterior no es el eje real. Se llama eje hiperreal (Keisler (2005)), y se denota por $^{*}\mathbb{R}$ .

Números hiperreales

El conjunto de los números hiperreales (denotado por $^{*}\mathbb{R}$ ) se define como el conjunto que contiene todos los números reales, todas las cantidades infinitamente pequeñas y todas las cantidades infinitamente grandes.

Puesto que $dx = 1/N$ donde $N$ es una cantidad infinitamente grande, se deduce que $N \cdot dx = 1$ . Esta expresión puede interpretarse de la siguiente manera: para obtener 1, tenemos que sumar una cantidad infinita de infinitesimales $dx$ , todos del mismo tamaño. Entonces, si sumamos una cantidad finita de infinitesimales, no podemos obtener un número real. En otras palabras, el resultado de la multiplicación de un número real por un infinitesimal es un infinitesimal (el resultado no puede ser un número real, porque requiere una cantidad infinita de infinitesimales sumados). Esta y otras propiedades algebraicas de los infinitesimales se postulan en la siguiente sección.

Cantidad finita

Cualquier cantidad que no sea ni infinitesimal, ni infinitamente grande.

Por lo tanto, se considera que una cantidad finita representa una cantidad que puede expresarse como un número real asignable. Dado que $x$ y $x + dx$ están infinitamente cerca uno del otro, para dos números hiperreales infinitamente cercanos, $a$ y $b$ , $a - b$ es un infinitesimal. Es decir, como números reales, $a$ y $b$ son el mismo número (Keisler (2011).)

Es importante mencionar que un infinitesimal $dx \neq 0$ no es un número real. El infinitesimal $dx \neq 0$ no puede ser un número real porque esta cantidad se puede agregar a cualquier número real $k$ y la suma es $k$ . En único infinitesimal que es un número real es el número 0.

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