1.1 Nota Histórica

En este curso, se sigue un enfoque histórico para transmitir la idea de las matemáticas como un esfuerzo humano que consiste en la solución de problemas. Tales problemas pueden surgir de las matemáticas en sí, pero también de muchos otros contextos que involucran diferentes ramas de la ciencia (medicina, economía, biología, física, etc.) Las matemáticas son el resultado del esfuerzo por resolver esos problemas y la ciencia de las matemáticas es la síntesis de todos los conceptos, técnicas e ideas que se crean a través del proceso de su resolución.

Las ideas de lo que ahora llamamos «Cálculo», que incluye los conceptos de derivada e integral, básicamente son la encapsulación de procesos que se llevan a cabo para resolver cierto tipo de problemas.

1. La derivada representa el proceso de calcular una cantidad finita como resultado del cociente de dos cantidades infinitamente pequeñas.
2. Por otro lado, la integral representa una cantidad finita mediante el proceso de calcular la suma de una cantidad infinitamente grande de cantidades infinitamente pequeñas.

En la mayoría de este tipo de problemas, una cantidad física o geométrica cambia continuamente con el tiempo o la distancia (o cualquier otra cantidad variable) y se requiere conocer el comportamiento de la primera cantidad (saber si está aumentando o disminuyendo) en un instante particular de tiempo o posición en el espacio. En este caso, la derivada es la herramienta matemática utilizada para resolver el problema.

En otros casos, se necesita calcular una cualidad (longitud, masa, volumen, etc.) de un todo. Para obtener su valor numérico, la estrategia consiste en dividir el todo en infinitas partes, calcular la cualidad requerida para una parte genérica, y sumar todas las partes para obtener el valor numérico requerido.

Estos problemas fueron abordados por diferentes matemáticos desde la antigua Grecia. Los diferentes métodos y enfoques aplicados finalmente se sintetizaron en lo que ahora se conoce como cálculo, desarrollado independientemente por Newton y por Leibniz. Sin embargo, es bastante importante reconocer que estos dos genios estaban parados en la base creada por otros muchos matemáticos. Entre ellos, están los siguientes.

• Demócrito de Abdera calculó el volumen de conos usando infinitesimales.
• Zeno de Elea propuso varias paradojas que muestran contradicciones en los infinitesimales.
• Arquímedes de Siracusa hizo un amplio uso de infinitesimales para la rectificación de curvas, cuadraturas y volúmenes.
• Francesco Maurolico calculó el centro de gravedad a través del método de los momentos.
• Federigo Commandino calculó el centro de gravedad usando métodos de Arquímedes.
• Simon Stevin calculó fuerza hidrostática y centro de gravedad.
• Johannes Kepler publicó su obra «Nova stereometria doliorum vinariorum» en donde explicó la justificación del cálculo de volúmenes de sólidos y áreas de figuras planas.
• Bonaventura Cavalieri publicó su obra «Geometria Indivisibilibus», donde explica su método de los indivisibles para calcular áreas y volúmenes.
• Galileo Galilei estudió el movimiento de los cuerpos.
• Evangelista Torricelli publicó su obra «De Dimensione Parabolae» donde da 21 pruebas diferentes de la cuadratura de la parábola.
• Isaac Barrow desarrolló un método para calcular tangentes en su «Geometrical Lectures» (1670)
• Pierre de Fermat desarrolló un método para encontrar máximos y mínimos de funciones.
• Isaac Newton creó el cálculo para resolver problemas en mecánica, relacionados con el movimiento.
• Leibniz utilizó ampliamente la idea de «cantidades inasignables», «infinitesimales», o cantidades infinitamente pequeñas. Él afirmó que «se puede considerar que una línea curva está formada por segmentos de línea recta infinitamente pequeños». Esta es la expresión textual de la hipótesis fundamental de su derivada. El postulado de Leibniz está definido algebraicamente en la sección 2.3.

No es necesario decir que la mayoría de los matemáticos confían en el trabajo de otros colegas anteriores o contemporáneos que trabajan en problemas similares. Por ejemplo, Galileo elogió a Cavalieri en su trabajo titulado «Diálogos sobre dos nuevas ciencias» como el «Nuevo Arquímedes» debido a su método de los indivisibles.

En el libro titulado «The Origins of the Infinitesimal Calculus» escrito por Margaret E. Baron (1969), publicado por Dover Publications, se da una buena explicación de los orígenes y el desarrollo de las ideas que culminaron en la creación del cálculo (para una reseña más corta de la evolución de los infinitesimales, ver https://plato.stanford.edu/entries/continuity/.)