03 05 El principio de Cavalieri

Por la fórmula para calcular el área del triángulo de base $b$ y altura $h$ :

$\begin{equation*} A_{\text{triangle}} = \frac{1}{2}\,b\cdot h \end{equation*}$

es obvio que dos triángulos teniendo iguales respectivamente sus bases y sus alturas, tendrán la misma área, independientemente de su forma. Esto es conocido como el Principio de Cavalieri.

Considera un segmento $\overline{AB}$ . Dibuja, paralelo a la base una línea recta $\ell$ de manera que el semengo $\overline{AB}$ no esté encima de $\ell$ . Toma un punto $C_1$ sobre la línea $\ell$ y considéralo como vértice del triángulo $\triangle ABC_{1}$ con base $\overline{AB}$ .

Ya sabemos que el área de este triángulo es un medio de la longitud de su base multiplicada por la longitud de su altura.

Si consideramos otro punto $C_{2}$ sobre la línea recta $\ell$ , como el vértice de un nuevo triángulo $\triangle ABC_{2}$ , y comparamos su área con la del triángulo $\triangle ABC_{1}$ , es fácil ver que ambos tienen exactamente la misma área. Y esto es debido a que ambos triángulos tienen la misma base y la misma altura.

En palabras, si dos triángulos tienen iguales
sus bases y sus alturas, respectivamente, tienen la misma área.

Este es el caso más simple del Principio de Cavalieri, el cual
se enuncia como sigue:

Principio de Cavalieri (para el área)

Suponga que dos regiones en el plano están incluidas entre dos líneas paralelas en el plano. Si cada línea paralela a estas dos rectas interseca ambas regiones en segmentos de igual longitud, entonces ambas regiones tienen la misma área.

Por medio de la aplicación de este principio es muy sencillo justificar la fórmula para calcular el área del paralelogramo a partir de la fórmula para calculr el área del rectángulo.

Principio de Cavalieri (para el volumen)

Suponga que dos regiones en el espacio tridimensional (sólidos) están incluidos entre dos planos paralelos. Si cada plano paralelo a estos dos planos interseca a ambas reciones en secciones de la misma área, entonces ambas regiones tienen el mismo volumen.

También es muy fácil verificar las fórmulas, no solamente para calcular áreas, sino también volúmenes. Por ejemplo, el volumen de un prisma de altura $h$ y área de su base $A_{b}$ es la misma, independientemente de que el prisma sea recto o no, por el principio de Cavalieri. Por lo tanto, el volumem de un paralelepípedo con área de su base $A_{b}$ y altura $h$ es el mismo que el de un prisma rectangular con la misma área de su base y altura, respectivamente.

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Principio de Cavalieri (para el área)

Principio de Cavalieri (para el volumen)