03 04 La fórmula de Herón

Considera el siguiente triángulo.

Observa que la altura del triángulo $h = ||\overline{AD}||$ . La longitud del segmento $||\overline{CD}||$ es $b\cdot \cos\gamma$ . Por la ley de cosenos,

$\begin{equation*} ||\overline{CD}|| = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2\,a} \end{equation*}$

Y por el teorema de Pitágoras, $h^2 = b^2 - ||\overline{CD}||^2$ . Por lo tanto,

$\begin{equation*} h^2 = b^2 - \left(\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2\,a}\right)^2 \end{equation*}$

Dado que es una diferencia de cuadrados, se puede factorizar como,

$\begin{eqnarray*} h^2 &=& \left(b + \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2\,a}\right)\left(b - \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2\,a}\right) \\ &=& \left(\frac{2\,ab + a^2 + b^2 - c^2}{2\,a}\right)\left(\frac{2\,ab - a^2 - b^2 + c^2}{2\,a}\right) \\ &=& \left(\frac{(a + b + c)(a + b - c)}{2\,a}\right)\left(\frac{(c + a - b)(c - a + b)}{2\,a}\right) \\ &=& \frac{(a + b + c)(a + b - c) (c + a - b)(c - a + b)}{4\,a^2} \end{eqnarray*}$

Ahora define $s$ como la mitad del perímetro del triángulo, es decir, $2\,s = a + b + c$ . Entonces, $a + b - c = 2\,(s - c)$ , $a - b + c = 2\,(s - b)$ , y $-a + b + c = 2\,(s - a)$ . Como consecuencia,

$\begin{eqnarray*} h &=& \sqrt{\frac{(a + b + c)(a + b - c) (c + a - b)(c - a + b)}{4\,a^2}} \\ &=& \frac{\sqrt{(a + b + c)(a + b - c) (c + a - b)(c - a + b)}}{2\,a} \\ &=& \frac{\sqrt{(2\,s) \cdot (2\,(s - c))\cdot (2\,(s - b))\cdot (2\,(s - a))}}{2a}\\ &=& \frac{2\,\sqrt{s \cdot (s - c)\cdot (s - b)\cdot (s - a)}}{a} \end{eqnarray*}$

En este caso, el área del triángulo es $A = (\nicefrac{1}{2})\cdot a\cdot h$ . Entonces,

$\begin{equation*} A_{\text{tri\'angulo}} = \frac{1}{2}\cdot a\cdot \frac{2\,\sqrt{s \cdot (s - c)\cdot (s - b)\cdot (s - a)}}{a} = \sqrt{s \cdot (s - c)\cdot (s - b)\cdot (s - a)} \end{equation*}$

Esta fórmula es conocida como la fórmula de Herón. Nos permite calcular el área del triángulo conociendo la longitud de sus lados sin ser requerido otro dato.

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