03 03 Ley de cosenos

Considera el siguiente triángulo junto con las líneas discontinuas:

Por el teorema de Pitágoras,

$\begin{equation*} x^2 + h^2 = a^2 \end{equation*}$

Por otra parte, también se cumple que

$\begin{eqnarray*} b + x &=& c\,\cos\alpha\\ h &=& c\,\sin\alpha \end{eqnarray*}$

Esto nos permite escribir:

$\begin{equation*} x = c\,\cos\alpha - b \end{equation*}$

Sustituye estas igualdades en la primera ecuación obtenida (por medio del teorema de Pitágoras) y simplifícala para obtener la ley de cosenos:

$\begin{eqnarray*} a^2 &=& (c\,\cos\alpha - b)^2 + (c\,\sin\alpha)^2\\ &=& c^2\cos^2\alpha - 2\,bc\,\cos\alpha + b^2 + c^2\sin^2\alpha\\ &=& b^2 - 2\,bc\,\cos\alpha + c^2\cdot(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha)\\ &=& b^2 + c^2 - 2\,bc\,\cos\alpha \end{eqnarray*}$

porque, $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$ . Observa que cuando $\alpha = 90\textdegree$ (o equivalentemente, $\alpha = \nicefrac{\pi}{2}\;\mathrm{rad}$ ), la ley de cosenos se reduce al teorema de Pitágoras.