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03 03 Ley de cosenos

Aprenderás la justificación de la ley de cosenos.

Considera el siguiente triángulo junto con las líneas discontinuas:

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Por el teorema de Pitágoras,

    \begin{equation*} 	x^2 + h^2 = a^2 \end{equation*}

Por otra parte, también se cumple que

    \begin{eqnarray*} 	b + x &=& c\,\cos\alpha\\ 	h &=& c\,\sin\alpha \end{eqnarray*}

Esto nos permite escribir:

    \begin{equation*} 	x = c\,\cos\alpha - b \end{equation*}

Sustituye estas igualdades en la primera ecuación obtenida (por medio del teorema de Pitágoras) y simplifícala para obtener la ley de cosenos:

    \begin{eqnarray*} 	a^2	&=&	(c\,\cos\alpha - b)^2 + (c\,\sin\alpha)^2\\ 	&=& c^2\cos^2\alpha - 2\,bc\,\cos\alpha + b^2 + c^2\sin^2\alpha\\ 	&=& b^2 - 2\,bc\,\cos\alpha + c^2\cdot(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha)\\ 	&=& b^2 + c^2 - 2\,bc\,\cos\alpha \end{eqnarray*}

porque, \cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1. Observa que cuando \alpha = 90\textdegree (o equivalentemente, \alpha = \nicefrac{\pi}{2}\;\mathrm{rad}), la ley de cosenos se reduce al teorema de Pitágoras.

De manera semejante se pueden justificar las siguientes identidades:

    \begin{eqnarray*} 	b^2 &=& a^2 + c^2 - 2\,a\,c\,\cos\beta			\\ 	c^2 &=& a^2 + b^2 - 2\,a\,b\,\cos\gamma \end{eqnarray*}

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