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03 02 Ley de senos

Aprenderás la justificación de la ley de senos.

Considera el triángulo que se muestra en la siguiente figura. Se puede ver que h = c\,\sin\beta y también h = b\,\sin\gamma. Resuelve ambas ecuaciones para h e iguala los resultados para obtener:

    \begin{eqnarray*} 	h=c\,\sin\beta &=& b\,\sin\gamma\qquad\Rightarrow	\\ 	\frac{c}{\sin\gamma} &=& \frac{b}{\sin\beta} \end{eqnarray*}

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Dado que esta no es la única altura del triángulo, considerando otra de sus alturas, h_{2}, como se muestra en la siguiente figura,

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Se sigue que h_{2} = a\,\sin\gamma, y también, h_{2} = c\,\sin\alpha. Resolviendo ambas expresiones para h_2, e igualándolas se obtiene:

    \begin{eqnarray*} 	h_2=a\,\sin\gamma &=& c\,\sin\alpha	\\ 	\frac{a}{\sin\alpha} &=& \frac{c}{\sin\gamma} \end{eqnarray*}

Recuerda que antes se había obtenido

    \begin{equation*} 	\frac{c}{\sin\gamma} = \frac{b}{\sin\beta} \end{equation*}

Por lo tanto,

    \begin{equation*} 	\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} \end{equation*}

Esta es la ley de senos.

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