03 02 Ley de senos

Considera el triángulo que se muestra en la siguiente figura. Se puede ver que $h = c\,\sin\beta$ y también $h = b\,\sin\gamma$ . Resuelve ambas ecuaciones para $h$ e iguala los resultados para obtener:

$\begin{eqnarray*} h=c\,\sin\beta &=& b\,\sin\gamma\qquad\Rightarrow \\ \frac{c}{\sin\gamma} &=& \frac{b}{\sin\beta} \end{eqnarray*}$

Dado que esta no es la única altura del triángulo, considerando otra de sus alturas, $h_{2}$ , como se muestra en la siguiente figura,

Se sigue que $h_{2} = a\,\sin\gamma$ , y también, $h_{2} = c\,\sin\alpha$ . Resolviendo ambas expresiones para $h_2$ , e igualándolas se obtiene:

$\begin{eqnarray*} h_2=a\,\sin\gamma &=& c\,\sin\alpha \\ \frac{a}{\sin\alpha} &=& \frac{c}{\sin\gamma} \end{eqnarray*}$

Recuerda que antes se había obtenido

$\begin{equation*} \frac{c}{\sin\gamma} = \frac{b}{\sin\beta} \end{equation*}$

Por lo tanto,

$\begin{equation*} \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} \end{equation*}$

Esta es la ley de senos.

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