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03 01 Área del círculo (revisitada)

Aprenderás otra forma de justificar la fórmula para calcular el área del círculo.

Ya se ha mostrado que la fórmula para calcular el área del círculo de radio ~r~ es A = \pi\,r^2. El primer acercamiento antes mostrado se debe a Johannes Kepler. El acercamiento que se explica a continuación lo debemos a Arquímedes.

En lugar de construir triángulos dentro del círculo, considera un polígono regular inscrito en la circunferencia. El área del polígono A_{\text{pol\'igono}} puede calcularse por medio de la fórmula:

    \begin{equation*} 	A_{\text{pol\'igono}} = \frac{1}{2}\cdot a\cdot P \end{equation*}

donde a es el apotema y P es el perímetro del polígono.

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Conforme el número de lados del polígono crece, la longitud de su apotema se acerca a la longitud del radio, su perímetro se acerca a la circunferencia y su área se acerca al área del círculo.

Al final, cuando el número de lados del polígono regular es infinitamente grande, el apotema se convierte en el radio, el perímetro del polígono se convierte en la circunferencia y el área del polígono es igual al área del círculo.

Dado que el área del polígono es

    \begin{equation*} 	A_{\text{pol\'igono}} = \frac{1}{2}\cdot a\cdot P \end{equation*}

considerando al círculo como un polígono de una cantidad infinita de lados,

    \begin{equation*} 	A_{\text{c\'irculo}} = \frac{1}{2} \cdot r\cdot C \end{equation*}

donde ~r~ es el radio del círculo y C su circunferencia. En palabras de Arquímedes, el área del círculo es igual al área de un triángulo cuya altura mide lo mismo que el radio del círculo y cuya base mide lo mismo que su circunferencia.

Arquímedes no fue capaz de obtener la fórmula A = \pi\,r^2, porque en su época la notación matemática no era como lo es ahora. Por ejemplo, el número \pi definido como la razón de la circunferencia C al diámetro D del mismo círculo se introdujo en 1\,706 por Willian Jones. Antes de él para hacer referencia a este número se utilizaba la frase dada en la definición de este número. En concreto, El número que cuando se multiplica por el diámetro da la circunferencia.

Continuando con la justificación de la fórmula para calcular el área del círculo de radio ~r~,
por la definición del número \pi, es obvio que C = 2\,\pi\,r. A partir de esto, es claro que:

    \begin{equation*} 	A_{\text{c\'irculo}} = \frac{1}{2}\,r\cdot (2\,\pi\,r) = \pi\,r^2 \end{equation*}

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