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02 10 Volumen de una esfera

Aprenderás la justificación de la fórmula para calcular el volumen de una esfera.

La siguiente justificación de la fórmula para calcular el volumen de una esfera se debe a Kepler y apareció en su trabajo titulado Nova stereometria doliorum vinariorum.

Considera una esfera de radio ~r~. Dividela en una cantidad infinita de pirámides rectas con vértice común en el centro de la esfera. Una de estas pirámides (con un área finita de su base) se muestra en la siguiente figura:

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La suma del volumen de todas las pirámides construidas es exactamente igual al volumen de la esfera. Para calcularla, divide la superficie de la espera en una cantidad infinitamente grande de partes, cada una de ellas de área infinitamente pequeña A_{i}.

Considera una de esas áreas infinitamente pequeñas como la base de una parte genérica (una pirámide) que representa a todas las partes (una cantidad infinita de pirámides) en las que se ha dividido la pirámide. Dado que uno de los vértices está ubicado en el centro de la esfera, su altura es ~r~, y por lo tanto, el volumen V_{i} de esta pirámide genérica es:

    \begin{equation*} 	V_{i} = \frac{1}{3}\cdot A_{i}\cdot r \end{equation*}

El volumen de la esfera es igual a la suma del volumen de todas las pirámides. Dado que ~r~ es un número constante,

    \begin{equation*} 	V_{\text{esfera}} = \sum\limits_{i=1}^{n} V_{i}  		= \sum\limits_{i=1}^{n} \frac{1}{3}\cdot A_{i}\cdot r  		= \frac{1}{3}\cdot r\, \sum\limits_{i=1}^{n} A_{i} \end{equation*}

Pero \sum A_{i} representa el área superficial de la esfera, y este valor es S = 4\,\pi\,r^2. Entonces,

    \begin{equation*} 	V_{\text{esfera}} = \frac{1}{3}\,r\cdot \sum\limits_{i=1}^{n} A_{i}  		= \frac{1}{3}\,r\cdot \left(4\,\pi\,r^2\right)  		= \frac{4}{3}\,\pi\,r^3 \end{equation*}

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