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02 09 Volumen del cono truncado

Aprenderás la justificación de la fórmula para calcular el volumen del cono truncado.

Un cono truncado es una parte del cono que se obtiene cortando la parte del cono más cercana a su vértice por medio de un plano perpendicular al eje del cono de manera que sus bases circulares son paralelas.

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Para calcular el volumen de un cono truncado resta el volumen V_{\text{cono chico}} del cono de altura H y radio ~r~ del volumen V_{\text{cono grande}} del cono de altura H + h y radio R.

El volumen V_{\text{cono grande}} del cono de altura H + h y radio R es:

    \begin{equation*} 	V_{\text{cono grande}} = \frac{1}{3}\,\pi R^{2}\cdot (H + h) \end{equation*}

Y el volumen V_{cono chico} del cono de altura H y radio ~r~ es:

    \begin{equation*} 	V_{\text{cono chico}} = \frac{1}{3}\,\pi r^{2}\,H \end{equation*}

Por lo tanto, el volumen del cono truncado es:

    \begin{eqnarray*} 	V_{\text{cono truncado}} &=& V_{\text{cono grande}} - V_{\text{cono chico}} 	\\ 		&=& \frac{1}{3}\,\pi R^{2}\cdot (H + h) - \frac{1}{3}\,\pi r^{2}\,H				\\ 		&=& \frac{1}{3}\,\pi R^{2}\,H + \frac{1}{3}\,\pi R^{2}\,h  - \frac{1}{3}\,\pi r^{2}\,H				\\ 		&=& \frac{1}{3}\,\pi\,H\cdot\left(R^{2} - r^2\right) + \frac{1}{3}\,\pi R^{2}\,h  \end{eqnarray*}

Observe que H es una construcción artificial utilizada para calcular el volumen del cono truncado y no es alguna de sus dimensiones. Desde luego, es conveniente dar la fórmula para calcular el volumen del cono truncado en términos de ~r~, R y h solamente.

Para calcular H en términos de ~r~, R y h, observa que el triángulo de base H y altura ~r~ es semejante al triángulo de base H + h y altura R. A causa de esto,

    \begin{equation*} 	\frac{H + h}{R} = \frac{H}{r} \quad\Rightarrow\quad 	r\,H + r\,h = R\,H \quad\Rightarrow\quad 	r\,h = R\,H - r\,H = H\cdot(R - r) \quad\Rightarrow\quad  	H = \frac{r\,h}{R - r} \end{equation*}

Sustituyendo este valor de H en la fórmula para calcular el volumen del cono truncado, se obtiene:

    \begin{eqnarray*} V_{\text{cono truncado}}  	&=& \frac{1}{3}\,\pi\,\left(\frac{r\,h}{R - r}\right)\cdot\left(R^{2} - r^2\right) + \frac{1}{3}\,\pi R^{2}\,h 	\\ 	&=&	\frac{1}{3}\,\pi\,r\,h\cdot (R + r) + \frac{1}{3}\,\pi R^{2}\,h 	\\ 	&=& \frac{1}{3}\,\pi\,h\,\left(R\,r + r^2\right) + \frac{1}{3}\,\pi R^{2}\,h\\ 	&=& \frac{1}{3}\,\pi\cdot\left(R^2 + R\,r + r^2\right)\cdot h \end{eqnarray*}

Esta es la fórmula para calcular el volumen del cono trincado con bases de radio R y ~r~ respectivamente y altura h.

Observe que si R = 0, la fórmula se simplifica a la del volumen del cono:

    \begin{equation*} 	V_{\text{cono}} = \frac{1}{3}\,\pi\,r^2\,h \end{equation*}

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