02 09 Volumen del cono truncado

Un cono truncado es una parte del cono que se obtiene cortando la parte del cono más cercana a su vértice por medio de un plano perpendicular al eje del cono de manera que sus bases circulares son paralelas.

Para calcular el volumen de un cono truncado resta el volumen $V_{\text{cono chico}}$ del cono de altura $H$ y radio $~r~$ del volumen $V_{\text{cono grande}}$ del cono de altura $H + h$ y radio $R$ .

El volumen $V_{\text{cono grande}}$ del cono de altura $H + h$ y radio $R$ es:

$\begin{equation*} V_{\text{cono grande}} = \frac{1}{3}\,\pi R^{2}\cdot (H + h) \end{equation*}$

Y el volumen $V_{cono chico}$ del cono de altura $H$ y radio $~r~$ es:

$\begin{equation*} V_{\text{cono chico}} = \frac{1}{3}\,\pi r^{2}\,H \end{equation*}$

Por lo tanto, el volumen del cono truncado es:

$\begin{eqnarray*} V_{\text{cono truncado}} &=& V_{\text{cono grande}} - V_{\text{cono chico}} \\ &=& \frac{1}{3}\,\pi R^{2}\cdot (H + h) - \frac{1}{3}\,\pi r^{2}\,H \\ &=& \frac{1}{3}\,\pi R^{2}\,H + \frac{1}{3}\,\pi R^{2}\,h - \frac{1}{3}\,\pi r^{2}\,H \\ &=& \frac{1}{3}\,\pi\,H\cdot\left(R^{2} - r^2\right) + \frac{1}{3}\,\pi R^{2}\,h \end{eqnarray*}$

Observe que $H$ es una construcción artificial utilizada para calcular el volumen del cono truncado y no es alguna de sus dimensiones. Desde luego, es conveniente dar la fórmula para calcular el volumen del cono truncado en términos de $~r~$ , $R$ y $h$ solamente.

Para calcular $H$ en términos de $~r~$ , $R$ y $h$ , observa que el triángulo de base $H$ y altura $~r~$ es semejante al triángulo de base $H + h$ y altura $R$ . A causa de esto,

$\begin{equation*} \frac{H + h}{R} = \frac{H}{r} \quad\Rightarrow\quad r\,H + r\,h = R\,H \quad\Rightarrow\quad r\,h = R\,H - r\,H = H\cdot(R - r) \quad\Rightarrow\quad H = \frac{r\,h}{R - r} \end{equation*}$

Sustituyendo este valor de $H$ en la fórmula para calcular el volumen del cono truncado, se obtiene:

$\begin{eqnarray*} V_{\text{cono truncado}} &=& \frac{1}{3}\,\pi\,\left(\frac{r\,h}{R - r}\right)\cdot\left(R^{2} - r^2\right) + \frac{1}{3}\,\pi R^{2}\,h \\ &=& \frac{1}{3}\,\pi\,r\,h\cdot (R + r) + \frac{1}{3}\,\pi R^{2}\,h \\ &=& \frac{1}{3}\,\pi\,h\,\left(R\,r + r^2\right) + \frac{1}{3}\,\pi R^{2}\,h\\ &=& \frac{1}{3}\,\pi\cdot\left(R^2 + R\,r + r^2\right)\cdot h \end{eqnarray*}$