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01 13 Área superficial de una esfera

Aprenderás la fórmula para justificar el área superficial de una esfera.

La siguiente justificación de la fórmula para calcular el área superficial de la esfera se debe a Arquímedes. Esta justificación apareció en su trabajo titulado Esfera y Cilindro.

Considera un polígono regular circunscrito de n lados (n es un número par de manera que dos vértices del polígono estén sobre un diámetro vertical) dentro del círculo de radio ~r~, como se indica en la siguiente figura:

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Cuando el polígono rota alrededor del eje vertical genera un sólido que consiste en un conjunto de conos truncados.

Sea s es la longitud del lado de este polígono. Dado que es un polígono regular, todos los lados tienen la misma longitud. Para calcular el área de un cono truncado genérico, sean p y q los radios de sus bases. También su altura inclinada es igual a la longitud del lado del polígono s.

El área de este cono genérico truncado es:

    \begin{equation*} 	A_{i} = \pi\,s\,(p + q) = 2\,\pi\,s\,\left(\frac{p + q}{2}\right) \end{equation*}

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Observa que u = (p + q)/2 es la distancia desde el punto medio del lado s considerado (que corresponde a la altura inclinada del cono truncado genérico) al eje vertical.

El triángulo recto dibujado con líneas discontinuas (cuyo cateto vertical mide h_{i} y cuya hipotenusa mide s) es semejante al triángulo cuya hipotenusa mide a (el apotema del polígono regular) su cateto horizontal mide u. Y es semejante porque sus lados son perpendiculares por pares, de manera que una rotación del triángulo más grande por un ángulo de 90\textdegree, causa que ambos triángulos tengan sus lados paralelos. Dado que son semejante,

    \begin{equation*} 	\frac{s}{h_{i}} = \frac{a}{u} \qquad\Rightarrow\qquad 	s \cdot u = a \cdot h_{i} \end{equation*}

Por lo tanto, el área superficial de este cono truncado puede expresarse como:

    \begin{equation*} 	A_{i} = 2\,\pi\,s\,\left(\frac{p + q}{2}\right)  				= 2\,\pi\,s\,u 				= 2\,\pi\,a \, h_{i} \end{equation*}

Y la suma de las áreas superficiales para todos los conos truncados es:

    \begin{equation*} 	A = \sum\limits_{i=1}^{n} A_{i}  		= \sum\limits_{i=1}^{n} 2\,\pi\,a \, h_{i}  		= 2\,\pi\,a \,\sum\limits_{i=1}^{n}  h_{i}  \end{equation*}

dado que a es el apotema del polígono (y por lo tanto es un número constante). Observa que la sima de todas las h_i es exactamente igual al diámetro D de la esfera. Es decir,

    \begin{equation*} 	\sum\limits_{i=1}^{n}  h_{i}  = D = 2\,r \end{equation*}

Entonces,

    \begin{equation*} 	A = 2\,\pi\,a \,\sum\limits_{i=1}^{n}  h_{i}  		= 2\,\pi\,a\cdot (2\,r)  		= 4\,\pi\,a\,r \end{equation*}

Cuando el polígono tiene una cantidad infinita de lados, el apotema a del polígono se convierte en el radio ~r~ de la esfera y el área del sólido genera por la rotación del polígono alrededor del eje vertical es exactamente igual al área superficial de la esfera. En este caso,

    \begin{equation*} 	A_{\text{esfera}} = 4\,\pi\,a\,r 		= 4\,\pi\,r^2 \end{equation*}

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