01 12 Área lateral de un cono truncado

Considera un cono truncado de radios $R$ y $~r~$ para sus bases, altura $h$ y altura inclinada $s$ .

Con el fin de calcular su área superficial, córtalo a lo largo de su altura inclinada para obtener un trapecio de bases $2\,\pi\,r$ y $2\,\pi\,R$ , respectivamente, y altura $s$ . Entonces, colócalo sobre el plano como se indica en la siguiente figura:

El área superficial del cono truncado es exactamente igual al área de este trapecio, y ésta es:

$\begin{equation*} A_{\text{cono truncado}} = \left(\frac{2\,\pi\,R + 2\,\pi\,r}{2}\right)\cdot s = \pi\cdot s \cdot (R + r) \end{equation*}$

Dado que $s = \sqrt{h^2 + (R^2 - r^2)}$ , se sigue que,

$\begin{equation*} A_{\text{cono truncado}} = \pi\cdot s \cdot (R + r) = \pi\cdot \sqrt{h^2 + (R^2 - r^2)} \cdot (R + r) \end{equation*}$

Observa que si $r = R$ , entonces $s = h$ y el cono truncado se convierte en un cilindro, y para este caso particular, la fórmula correspondiente al área lateral del cilindro de altura $h$ y radio $~r~$ (el área de las tapas no está incluido) es:

$\begin{equation*} A_{\text{cilindro}} = 2\cdot\pi\cdot r \cdot h \end{equation*}$

Por otra parte, para obtener la fórmula del área del cono circular recto a partir de la fórmula para calcular el área del cono truncado, sustituye $r = 0$ , y la simplificación da:

$\begin{equation*} A_{\text{cono}} = \pi\cdot R \cdot \sqrt{h^2 + R^2} \end{equation*}$

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01 12 Área lateral de un cono truncado

Aprenderás la justificación de la fórmula para calcular el área lateral del cono truncado.