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01 12 Área lateral de un cono truncado

Aprenderás la justificación de la fórmula para calcular el área lateral del cono truncado.

Considera un cono truncado de radios R y ~r~ para sus bases, altura h y altura inclinada s.

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Con el fin de calcular su área superficial, córtalo a lo largo de su altura inclinada para obtener un trapecio de bases 2\,\pi\,r y 2\,\pi\,R, respectivamente, y altura s. Entonces, colócalo sobre el plano como se indica en la siguiente figura:

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El área superficial del cono truncado es exactamente igual al área de este trapecio, y ésta es:

    \begin{equation*} 	A_{\text{cono truncado}} = \left(\frac{2\,\pi\,R + 2\,\pi\,r}{2}\right)\cdot s = \pi\cdot s \cdot (R + r) \end{equation*}

Dado que s = \sqrt{h^2 + (R^2 - r^2)}, se sigue que,

    \begin{equation*} 	A_{\text{cono truncado}} = \pi\cdot s \cdot (R + r)  		= \pi\cdot \sqrt{h^2 + (R^2 - r^2)} \cdot (R + r)  \end{equation*}

Observa que si r = R, entonces s = h y el cono truncado se convierte en un cilindro, y para este caso particular, la fórmula correspondiente al área lateral del cilindro de altura h y radio ~r~ (el área de las tapas no está incluido) es:

    \begin{equation*} 	A_{\text{cilindro}} = 2\cdot\pi\cdot r \cdot h \end{equation*}

Por otra parte, para obtener la fórmula del área del cono circular recto a partir de la fórmula para calcular el área del cono truncado, sustituye r = 0, y la simplificación da:

    \begin{equation*} 	A_{\text{cono}} = \pi\cdot R \cdot \sqrt{h^2 + R^2} \end{equation*}

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