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01 11 Área lateral de un cono recto

Aprenderás a justificar la fórmula para calcular el área de un cono recto.
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Considera un cono recto de radio ~r~ y altura h.

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Para calcular su área superficial, córtalo a lo largo de su orilla más alta y colocalo plano sobre una mesa:

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Divide el arco de longitud 2\,\pi\,r en una cantidad infinita de segmentos, y considéralos como bases de triángulos infinitamente delgados, todos compartiendo el mismo vértice en el origen del sistema de coordenadas.

Llamemos como s_{i} una de esas bases. Por el teorema de Pitágoras, su altura debe ser \sqrt{h^2 + r^2}. El área de esta región del plano es igual a la suma de las áreas A_{i} de todos los triángulos que lo forman. Consecuentemente,

    \begin{equation*} A_{\text{cono}} = \sum\limits_{i=1}^{n} A_{i} = \sum\limits_{i=1}^{n} \frac{1}{2}\,s_{i}\,\sqrt{h^2 + r^2} \end{equation*}

Y dado que ~r~ y h son números constantes,

    \begin{equation*} A_{\text{cono}} = \frac{1}{2}\,\sqrt{h^2 + r^2}\cdot\sum\limits_{i=1}^{n} s_{i} \end{equation*}

Pero \sum s_{i} = 2\,\pi\,r, porque es la longitud de arco. Por lo tanto,

    \begin{equation*} A_{\text{cono}} = \frac{1}{2}\,\sqrt{h^2 + r^2}\cdot(2\,\pi\,r) = \pi\cdot r \cdot \sqrt{h^2 + r^2} \end{equation*}

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