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01 08 Área del círculo

Aprenderás la justificación de la fórmula del área del círculo.

La siguiente justificación de la fórmula para calcular el área del círculo se debe a Kepler y apareció en su obra titulada Nova stereometria doliorum vinariorum.

Para calcular el área del círculo, divídelo en una cantidad infinita de triángulos, todos compartiendo un vértice común en el centro del círculo, como se muestra en la siguiente figura con una cantidad finita de triángulos:

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Por lo tanto, el área del círculo es la suma de las áreas de todos los triángulos:

    \begin{equation*} 	A = \sum\limits_{i=1}^{n} A_{i}  \end{equation*}

Ten en cuenta que dado que hay una cantidad infinita de triángulos en el círculo cada s_{i} es infinitamente pequeña. Esto implica que la altura de cada triángulo es el radio r del círculo. Consecuentemente, el a´rea de cada triángulo es:

    \begin{equation*} 	A_{i} = \frac{1}{2}\cdot s_{i}\cdot r \end{equation*}

donde s_{i} es la base del i-ésimo triángulo. Dado que r es el radio del círculo, es un número constante, y sumando el área de todos los triángulos, se obtiene el área del círculo. Por lo tanto,

    \begin{equation*} 	A_{\text{c\'irculo}} = \sum\limits_{i=1}^{n} A_{i}  		= \sum\limits_{i=1}^{n} \frac{1}{2}\cdot s_{i}\cdot r 		= \frac{1}{2}\cdot r\cdot \sum\limits_{i=1}^{n}s_{i} \end{equation*}

Observa que la suma de todos los s_{i} es la circunferencia C, y dado que C = 2\,\pi\,r, la fórmula para calcular el área del círculo se puede simplificar como:

    \begin{equation*} 	A_{\text{c\'irculo}} = \sum\limits_{i=1}^{n} A_{i}  		= \frac{1}{2}\, r\, \sum\limits_{i=1}^{n}s_{i}  		= \frac{1}{2}\, r\, C  		= \frac{1}{2}\, r\,\left(2\,\pi\,r\right) = \pi\,r^2 \end{equation*}

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