01 07 Área de un polígono

Para calcular el área de un polígono convexo, es conveniente dividirlo en triángulos. Dado que la fórmula para calcular el área del triángulo se justificó previamente, para calcular el área del polígono suma las áreas de sus elementos triangulares.

Por lo tanto, el área del polígono es:

$\begin{equation*} A_{\text{pol\'igono}} = \sum\limits_{i=1}^{n} A_{i} \end{equation*}$

Desde luego, esta no es la única forma de dividir el polígono en triángulos. Por ejemplo, otra triangulación posible para el polígono es la que se muestra en la siguiente figura:

El punto importante es que el polígono entero esté dividido en triángulos y que la suma considere el área de cada uno de los triángulos.

El área de un polígono regular de $n$ lados puede calcularse fácilmente dividiéndolo en $n$ triángulos, todos compartiendo un vértice común en el centro del polígono. La suma de las áreas de estos triángulos es exactamente igual al área del polígono.

El área de cada triángulo es $A_{i} = \left(\nicefrac{1}{2}\right)\,s\cdot a$ , donde $s$ es la longitud del lado del polígono (la base del triángulo) y $a$ es el apotema del polígono (la altura de cada triángulo). Por lo tanto,

$\begin{equation*} A_{\text{pol\'igono regular}} = \sum\limits_{i=1}^{n} A_i = \sum\limits_{i=1}^{n} \frac{1}{2} \,s\cdot a = \frac{1}{2} \,s\cdot a \cdot n = \frac{1}{2}\,a\cdot P \end{equation*}$

donde $P$ es el perímetro del polígono, dado que es igual al número de lados multiplicado por la longitud de cada uno, o algebraicamente: $P = n\cdot s$ .

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Aprenderás la justificación de la fórmula para calcular el área de un polígono.