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0.3 Notación utilizada en este curso

Se indica la notación utilizada en este curso.

Tenga en cuenta que en este libro se utiliza la siguiente notación.

Las constantes se denotan con las letras iniciales del alfabeto latino (a, b, c, etc.) a menos que la cantidad se denote con
una letra diferente debido a su contexto y/o tradición. Por ejemplo, el radio de un círculo generalmente se denota por r (aquí se supone que es un círculo no variable). Las cantidades variables se denotan por las últimas letras del alfabeto latino (u, v, w, etc.)

Los ángulos o argumentos de las funciones trigonométricas generalmente se denotan como variables. En algunos casos particulares (es decir, en construcciones geométricas) debido al objetivo pedagógico de la discusión, se consideró una mejor opción usar letras del alfabeto griego.

Las cantidades infinitesimales (infinitamente pequeñas) de una variable dada se denotan con la letra d como prefijo de la variable misma. Por ejemplo, una cantidad infinitesimal de la variable w se denota por dw. Cantidades infinitamente grandes se denotan con letras
mayúsculas del alfabeto latino. Por ejemplo, a lo largo del libro, N se usa como el número de elementos
del conjunto de los números naturales (N = n(\mathbb{N})).

La palabra «diferencial» proviene de la palabra diferencia (de su diminutivo en latín).
En algunos libros de cálculo, el diferencial de una variable se define como «la parte lineal principal del incremento de una función.» Algunos autores de libros de cálculo definen el diferencial como el producto de la derivada por un incremento de su variable independiente. Esto es, dy = f'(x)\cdot \Delta x, donde \Delta x es una variable real. Históricamente, la idea del diferencial es la del cambio de la función debido a un incremento infinitamente pequeño en su variable independiente. Es decir, la idea de Leibniz del diferencial es la siguiente:

    \begin{equation*} 	dy = f(x + dx) - f(x) \end{equation*}

De la definición de la derivada f'(x) de una función dada y = f(x), como la razón del diferencial de la variable dependiente al diferencial de la independiente, f'(x) = \nicefrac{dy}{dx}, se deduce que dy = f(x + dx) - f(x) = f'(x) \cdot dx. Esta expresión algebraica es bastante similar a la que se da en los libros tradicionales de cálculo. Sin embargo, para funciones diferenciables, f '(x) \cdot dx es una cantidad infinitamente pequeña, contrario a lo que se define en algunos libros modernos de cálculo (Por ejemplo,
vea la página 94 del libro titulado «Calculus» del Prof. Gilbert Strang. Él define el diferencial como la aproximación lineal de la función, es decir, el valor aproximado de y = f(x) a lo largo de la línea tangente a la gráfica de la función, en lugar de a lo largo de la gráfica de la función misma. Algebraicamente: dy = f'(x)\cdot \Delta x.).

El resto de la notación coincide con la notación matemática tradicional. Con este fin, las propiedades algebraicas de los infinitesimales
se postulan o deducen de modo que las reglas del álgebra elemental todavía sean convenientemente aplicables.

A lo largo del libro, a menos que se indique lo contrario, se supone que los ejes de coordenadas son rectangulares, se supone que todos los ángulos se miden en radianes (la medida circular natural), se supone que los logaritmos están en la base e (la base neperiana), y se sigue la consideración de Freudenthal (1972), «la continuidad o diferenciabilidad uniforme de una función continua o continuamente diferenciable se asume sin pruebas», con la intención de simplificar las explicaciones. Como se esperaba, las funciones seleccionadas están de acuerdo con esta suposición, al menos en el dominio de la discusión de cada problema (a menos que la intención de la discusión sea mostrar algo en particular).

Finalmente, y para simplificar el cálculo numérico de la solución de los problemas, se utiliza el Sistema Internacional de Unidades (SI) para evitar la conversión y obtener los resultados en términos de unidades del mismo SI (Las unidades base de la ISU son metro [m], kilogramo [kg], segundo [s], amperio [A], kelvin [K], candela [cd], y mol [mol] para longitud, masa, tiempo, distancia, corriente eléctrica, temperatura termodinámica, intensidad luminosa y cantidad de sustancia, respectivamente.)

Prerequisitos

Para aprovechar al máximo el curso de cálculo, se requieren conocimientos previos al cálculo. En particular, es necesario dominar los conceptos básicos de las matemáticas de bachillerato: álgebra elemental, geometría plana, trigonometría, geometría analítica y los rudimentos de trabajar con funciones matemáticas elementales.

Los estudiantes a menudo se quejan de que el cálculo es difícil. En realidad, con una buena base de cálculo previo, es bastante fácil. Es decir, a algunos estudiantes se les dificulta comprender esta rama de las matemáticas debido a su falta de preparación, y no tanto por las ideas de cálculo. Si sabes que necesitas fortalecer tus rudimentos en matemáticas,hazlo antes de comenzar a leer este libro, -así como tu curso de cálculo-.

Al lector

Este libro ha sido sometido a un riguroso proceso de revisión. Sin embargo, nada es perfecto y se producen errores que pueden haber pasado desapercibidos. Si tiene alguna sugerencia para mejorar este trabajo, el autor agradecería sus comentarios sobre el contenido de cualquier parte de este libro. En tal caso, envíe un mensaje a la siguiente cuenta de correo electrónico:
info@aprendematematicas.org.mx.

Le agradezco sinceramente de antemano.

Prof. Efraín Soto Apolinar.
Profesor titular del curso
Autor del libro «Cálculo con Infinitesimales»

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