0.2 Prefacio

Tradicionalmente, el cálculo se ha enseñado con límites en lugar de infinitesimales. Esto se debe a que los matemáticos son demasiado estrictos con el rigor matemático. Afortunadamente (quizás desafortunadamente) aunque enseño matemáticas no soy matemático. Como profesor, mi objetivo principal es que mis alumnos y lectores entiendan las ideas, conceptos y métodos aplicados en la solución de problemas, así como la justificación de los métodos aplicados. Esa es la razón por la cual este texto se enfoca en la comprensión del significado de la derivada, el diferencial, la antiderivada (conocida en cálculo tradicional como la integral indefinida), la integral (definida) y sus aplicaciones.

Para lograr este objetivo, se tuvieron que tomar algunas decisiones. Primero, la investigación en matemática educativa ha concluido que el proceso límite no es un enfoque conveniente para alcanzar nuestra meta (Keisler, 2001). Según los informes, cuando se enseña cálculo con base en la idea de límite, los estudiantes pueden calcular límites, derivadas y antiderivadas de funciones, pero cuando se trata de un problema que requiere comprensión, los estudiantes no pueden hacer mucho (Alanís y Soto, 2012).

Los infinitesimales son un enfoque conveniente porque esta idea matemática es un instrumento más manejable (en comparación con el proceso de límite), ya que puede relacionarse con pequeños números reales (aunque esta representación no es exactamente correcta). Freudenthal (1972) y Bell (2006) coinciden en afirmar que los ingenieros y los físicos han usado infinitesimales desde su invención porque con esta herramienta el proceso de modelación se simplifica. En este sentido, Todorov (2001) afirma que «la mayoría de los matemáticos piensan e investigan en términos de infinitesimales y usan la definición de límites usando solo para presentar la versión final de su trabajo en una forma socialmente aceptable.»

Freudenthal (1972) afirma que «es una situación imposible que el matemático enseñe una matemática que no se puede aplicar y el físico aplica una matemática que no ha sido enseñada por el matemático», (página 553) refiriéndose al hecho de que el uso de límites en ingeniería no es tan común como el uso de las cantidades infinitamente pequeñas. También afirma que «los cocientes diferenciales son los dispositivos más eficientes para el análisis intuitivo» (página 559). La justificación del enfoque de este libro consiste en allanar el camino hacia la comprensión de las ideas de cálculo.

En consecuencia, la derivada de una función se define con base en la idea de la pendiente de una línea recta, con la diferencia de que en lugar de utilizar incrementos finitos en las variables ( y ) para la pendiente, la derivada usa incrementos infinitamente pequeños ( y ). Acorde con esto, la integral definida se concibe como la suma de una cantidad infinita de infinitesimales (también llamados diferenciales). En los libros más tradicionales, donde el cálculo se basa en límites, la integral definida se establece como la integral de Riemann.

En este libro, las técnicas de integración no se consideran lo más importante a estudiar en el cálculo integral, (aunque están cubiertas), sino el establecimiento de la integral definida para cuantificar la cualidad de un todo. En este sentido, el cálculo de diferenciales debe ser la parte central del llamado «cálculo diferencial», en lugar del cálculo de derivadas de funciones.

Leibniz concibió los infinitesimales como «cantidades inconmesurables» a cantidades finitas como «granos de arena en relación con el mar» (Lozano, 2011). Consideró las curvas como líneas poligonales con infinita cantidad de lados, y las superficies como poliedros de infinitas caras, cada una de tamaño infinitamente pequeño (área plana). En este libro, las ideas de la derivada de una función y la integral definida se basan en esta concepción leibniziana de los objetos geométricos, tal como se forman en el nivel «microscópico» de elementos rectos (líneas o planos). Este enfoque ha demostrado ser de ayuda para que los estudiantes comprendan las ideas de cálculo (derivadas, diferenciales, antiderivadas e integrales definidas) en la experiencia del autor (ver Soto y Alanis, 2014).

Es común el uso de software para calcular el valor numérico de integrales definidas. La tarea de calcular la antiderivada se ha vuelto menos pertinente en los cursos de cálculo y ahora el profesor puede enfocarse mejor en el proceso de modelado para deducir la integral definida que representa el valor exacto de la cantidad que debe cuantificarse. El uso de diferenciales simplifica el proceso
de modelado y los informes indican que el uso de infinitesimales en la enseñanza del cálculo mejora la comprensión de los alumnos (Freudenthal, 1972).

La matemática que generalmente se encuentra en los libros no es la misma que se creó históricamente, sino su síntesis. Por ello, en donde se ha encontrado pertinente, se proporcionan datos históricos para transmitir la idea de que las matemáticas son: (a) un esfuerzo humano enfocado en la resolución de problemas, (b) un lenguaje creado para comunicar cómo se resuelven dichos problemas, para justificar sus métodos y generalizarlos a otros problemas, y finalmente (c) una ciencia creada por medio de ideas utilizadas como objetos matemáticos, que se entrelazan entre sí y con el resto de la teoría para expandirla (Godino, Batanero y Font, 2007).

Si el lector es un matemático puro, es muy probable que este no es el enfoque que le gustaría ver. El contenido de este libro es muy informal para un matemático puro, pero según la experiencia del autor, este enfoque es el que mejor promueve el entendimiento para quienes estudian esta rama de las matemáticas por primera vez. Con suerte (tal vez) los ingenieros y físicos estarán de acuerdo conmigo en este punto.

Si surge la necesidad, el usuario del cálculo buscará una justificación más rigurosa de los teoremas (Probablemente el libro de Keisler titulado: «Cálculo elemental. Un enfoque infinitesimal» es una mejor referencia si el objetivo del maestro es transmitir rigor en su curso de cálculo, ya que según su autor, «se basa en el trabajo de Abraham Robinson, quien en 1960 encontró una forma de hacer que los infinitesimales sean rigurosos» (Prefacio, página iv).) Por el momento, mientras el alumno está aprendiendo, el objetivo debe ser la transmisión de las ideas de la manera más eficiente posible.La necesidad actual es la comprensión de las ideas y su uso, y el rigor se puede dejar como una necesidad futura. Sin embargo, es importante mencionar que, para estar de acuerdo con la mayoría del programas de estudios de los cursos de cálculo en colegios y universidades, se sigue el orden tradicional de los temas.

Espero que este libro sirva como un manual de las ideas del cálculo infinitesimal de acuerdo a cómo sus reglas fueron justificadas por sus creadores. Con suerte este enfoque, aunque no estrictamente riguroso según las matemáticas modernas, permitirá a aquellos estudiantes que se acerquen por primera vez a las ideas del cálculo infinitesimal, alcanzar la comprensión de los infinitesimales, la derivada, el diferencial, la integral definida, la antiderivada y sus aplicaciones.

Efraín Soto Apolinar.
Monterrey, Nuevo León. México. 2020.

Reconocimientos

Muchas de las ideas expresadas en este trabajo se recopilaron en el período de 2010 a 2017. De agosto de 2010 a diciembre de 2014 estudié el Doctorado en Innovación Educativa en el Tecnológico de Monterrey, y desde enero de 2015 comencé a laborar como Profesor de Matemáticas en el Departamento de Matemáticas del Tecnológico de Monterrey.

Mi tesis doctoral se centró en las dificultades que los estudiantes de ingeniería tienen que superar para comprender el significado de la integral definida para aplicar adecuadamente este concepto en problemas que nunca han visto y en los que una integral definida es el método de solución más eficiente.

Honestamente, para el año 2010 no tenía una comprensión clara de lo que es una integral definida, así que me sentí obligado a hacer una profunda reflexión sobre este concepto matemático. Esto me obligó a leer algunas obras clásicas relacionadas con la creación del cálculo, al igual que sostuve muchas discusiones con mi supervisor de tesis (Prof. Dr. Juan Antonio Alanís Rodríguez).

Para comprender este concepto matemático fundamental para los ingenieros, tuve que leer sobre la historia del cálculo, particularmente sobre los problemas que conducen al concepto de integral definida. En esta tarea, la idea de cantidades infinitesimales apareció naturalmente en la solución de problemas en diferentes contextos y esta investigación me convenció de que la idea matemática de infinitesimal es el mejor enfoque para comprender el significado de los conceptos más importantes del cálculo, a saber, el Derivada, la diferencial, la antiderivada y la integral definida y sus aplicaciones.

Muchas de las conversaciones que tuve con mi supervisor de tesis y con el Dr. Ricardo Pulido Rios, (ambos profesores eméritos del Tecnológico de Monterrey) me ayudaron a construir una idea de lo que es un infinitesimal y a tener comprensión más completa del significado de los conceptos de cálculo mencionados anteriormente.

Me siento en deuda con todo el apoyo que me dieron estos dos profesores durante mis estudios de doctorado. Por esa razón, hago público este reconocimiento.