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Un reto de área

Reto

Calcular el porcentaje que representa el área sombreada del área total
El área total es igual al área de los tres círculos de radio R que se tocan tangentemente entre sí, más el área sombreada.

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Solución

Para calcular el área sombreada, considero el triángulo equilátero \triangle ACF de lado 2\,R.

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Calculo primero el área del triángulo \triangle ACF. Conociendo la base R = \| \overline{AB}\|, y la hipotenusa 2\,R = \|\overline{AF}\|, aplicando el teorema de Pitágoras se puede calcular la altura \|\overline{AF}\| de este triángulo:

    \begin{equation*} \|\overline{AF}\| = \sqrt{\|\overline{AF}\|^2 - \| \overline{AB}\|^2} = \sqrt{(2\,R)^2 - R^2} = \sqrt{3}\,R \end{equation*}

El área del triángulo \triangle ABF, entonces es:

    \begin{equation*} A_{\triangle ABF} = \frac{1}{2}\,(2\,R) \cdot \sqrt{3}\,R = \sqrt{3}\,R^2 \end{equation*}

EL área del sector circular ABD es la sexta parte del círculo. Como dentro del triángulo \triangle ACF se tienen 3 sectores de la misma área (cuyo ángulo mide \nicefrac{\pi}{6} radianes), debemos restar la mitad del área del círculo al área del triángulo \triangle ACF para calcular el área sombreada. El área del círculo es A_{\circ} = \pi\,R^2. Y el área de la región sombreada es:

    \begin{equation*} A_{\text{total}} = 3\,\pi\,R^{2} + \sqrt{3}\,R^2 - \frac{1}{2}\,\pi\,R^2 =  \frac{5}{2}\,\pi\,R^{2} + \sqrt{3}\,R^{2} \end{equation*}

El porcentaje p buscado es:

    \begin{eqnarray*} p &=& 100\cdot \left(\frac{A_{\text{sombreada}}}{A_{\text{total}}} \right)  \\ &=& \frac{100\,\left(\sqrt{3} - \frac{\pi}{2}\right)\,R^2}{\left(\frac{5}{2}\,\pi + \sqrt{3}\right)R^{2}} \\ &=& \frac{100\,\left(\sqrt{3} - \frac{\pi}{2}\right)}{\frac{5}{2}\,\pi + \sqrt{3}} \\ &\approx &1.68218\,\% \end{eqnarray*}

Cuando Gauss resolvió este problema indicó que el porcentaje era aproximadamente 99 %.

Muy fácil, ¿verdad?
¿Puedes explicárselo a alguien más?

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