Un reto de área - Aprende Matemáticas

Reto

Calcular el porcentaje que representa el área sombreada del área total
El área total es igual al área de los tres círculos de radio $R$ que se tocan tangentemente entre sí, más el área sombreada.

Solución

Para calcular el área sombreada, considero el triángulo equilátero $\triangle ACF$ de lado $2\,R$ .

Calculo primero el área del triángulo $\triangle ACF$

. Conociendo la base $R = \| \overline{AB}\|$

, y la hipotenusa $2\,R = \|\overline{AF}\|$

, aplicando el teorema de Pitágoras se puede calcular la altura $\|\overline{AF}\|$

de este triángulo:

$\begin{equation*} \|\overline{AF}\| = \sqrt{\|\overline{AF}\|^2 - \| \overline{AB}\|^2} = \sqrt{(2\,R)^2 - R^2} = \sqrt{3}\,R \end{equation*}$

El área del triángulo $\triangle ABF$

, entonces es:

$\begin{equation*} A_{\triangle ABF} = \frac{1}{2}\,(2\,R) \cdot \sqrt{3}\,R = \sqrt{3}\,R^2 \end{equation*}$

EL área del sector circular $ABD$

es la sexta parte del círculo. Como dentro del triángulo $\triangle ACF$

se tienen 3 sectores de la misma área (cuyo ángulo mide $\nicefrac{\pi}{6}$

radianes), debemos restar la mitad del área del círculo al área del triángulo $\triangle ACF$

para calcular el área sombreada. El área del círculo es $A_{\circ} = \pi\,R^2$

. Y el área de la región sombreada es:

$\begin{equation*} A_{\text{total}} = 3\,\pi\,R^{2} + \sqrt{3}\,R^2 - \frac{1}{2}\,\pi\,R^2 = \frac{5}{2}\,\pi\,R^{2} + \sqrt{3}\,R^{2} \end{equation*}$

El porcentaje $p$

buscado es:

$\begin{eqnarray*} p &=& 100\cdot \left(\frac{A_{\text{sombreada}}}{A_{\text{total}}} \right) \\ &=& \frac{100\,\left(\sqrt{3} - \frac{\pi}{2}\right)\,R^2}{\left(\frac{5}{2}\,\pi + \sqrt{3}\right)R^{2}} \\ &=& \frac{100\,\left(\sqrt{3} - \frac{\pi}{2}\right)}{\frac{5}{2}\,\pi + \sqrt{3}} \\ &\approx &1.68218\,\% \end{eqnarray*}$

Cuando Gauss resolvió este problema indicó que el porcentaje era aproximadamente 99 %.

Muy fácil, ¿verdad?
¿Puedes explicárselo a alguien más?

abril 10, 2020

Posts | Cursos

Efraín Soto Apolinar

El Prof. Efrain Soto Apolinar es autor de varios libros de matemáticas de bachillerato (álgebra, geometría plana, geometría analítica y funciones) y ha publicado un par de artículos científicos en el área de la educación matemática. El Prof. Soto es el fundador, titular e instructor del sitio web Aprende Matemáticas, donde ofrece cursos en línea sobre matemáticas, principalmente para los niveles bachillerato y universitario, así como cursos para la formación de profesores y profesores de matemáticas. Ha enseñado matemáticas desde el año 2002 en secundaria, bachillerato y en el nivel universitario. En este último caso, ha impartido cursos de matemáticas para estudiantes de ingeniería, cursos en modalidades regular y Honors, en Español al igual que en Inglés.

Website : https://www.aprendematematicas.org.mx/members/efrain-soto-apolinar/

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